第一章 函数与极限 2.数列的极限

数列的极限

思考一下第一节我们获得了一些什么东西？我们知道了什么是映射，从映射的定义出发，我们知道在微积分中函数被定义为了一种在实数域上的映射，即定义域和值域都是实数域。然后讲完了映射后又深入定义了映射的不同类型，如单射、满射、双射、逆映射、复合映射。这些也是为我们定义反函数、复合函数做了铺垫。

映射的铺垫结束之后，我们就开始阐述什么是函数了，紧接着定义了函数在某些情况下具有的性质，有界性、单调性、奇偶性、周期性。阐述性质完毕之后，最后定义了函数的四则运算，加减乘除不仅可以看做是函数值的相加，还可以看做是函数的四则运算定义了新的映射法则。

以上就是第一节想要告诉我们的内容，那么换成一句话就是，第一节给我们定义了什么是函数，其实也是告诉我们本书研究的对象的载体。

第二节的名字叫做 数列的极限。这个标题内蕴含着两个重要的定义，什么是数列，什么是极限？

数列

数列是一种 序列，序列的值是由映射 $f$ 产生的，$f$ 的定义域是全体正整数 $N_{+}$，其值域是实数域 $R\subset \mathbb{R}$，如果将所有映射后的实数按被映射的正整数 从小到大排序，这样的序列就是数列。

用书上的话来说就是，存在一个法则 $f$，对于每个 $n\in N_{+}$，总有唯一一个实数 $f(x)\in R$ 与之对应，将所有 $f(x)$ 按 $x$ 从小到大排列好，这样的无限的序列就是数列。

显然我们能知道数列的项是无穷多的，因为其定义域是全体正整数域，但其值域不一定能取遍所有的实数。

我们一般研究的是有规律的数列，什么叫有规律呢，就是我们能知道数列的任意项的表示公式，如果一个数列的第 $n$ 项可以表示为一个与 $n$ 的式子那么我们就说这个数列具有规律，这个含 $n$ 的式子就叫做数列的 一般项。如果一个数列有一般项，我们就可以用这个一般项来 描述、代表 这个数列，记作 {xn}\{x_n\}{xn​}。

极限

在书的最开始的描述中，极限是一个正在发生无限逼近的过程的终点，如果代入到我们当前的语义环境，极限 可以描述一个函数 $f(x)$，在其自变量 $x$ 趋于某个值 $x_1$ 但不到达 $x_1$ 的过程中，其函数值 $f(x)$ 无限逼近/收敛于 某个值的那个值的 数值，这样的值可以简称为 极限值，或者说是 $f(x)$ 在 $x$ 趋于 $x_1$ 时的极限值。

不难发现，如果一个值能被极限所修饰，那么其必然要满足两个条件，第一个是函数的自变量应趋于但不等于某个值，第二个是自变量趋于某一值但不等于该值的过程中对应的函数值也需要 无限逼近 某个值。

所以其实我们只需要定义什么是 无限逼近，我们就能定义什么是极限了。

$\epsilon -\alpha$ 语言定义

由于本节描述的是数列的极限，所以我们先定义在数列语境下的无限逼近，值得注意的是我们只研究那种具有通项公式的数列，对于没有规则的数列暂时不在我们研究范围内。

设 {xn}\{x_n\}{xn​} 是一个数列，如果存在一个常数 $A$，使得对于任意正数 $\epsilon$，都能找到一个正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，不等式
$$|x_n-A|<\epsilon$$
成立，那么就称 $A$ 是 $x_n$ 的极限值，即 $x_n$ 在 $n$ 无限逼近无穷大时无限逼近 $A$，或者说 无限收敛 于 $A$。

为什么说上面这段话能正确定义什么是 无限逼近 呢？首先数列的自变量可以看做是数列的下标，由于下标只能是正整数，所以其趋于但不等于的的只能是无穷大，而不是向一个具体的正实数，因为一个具体的正实数必然会在两个正整数之间，如果这个正实数等于某一正整数，自变量必然能够等于这个正实数，与定义矛盾，若该正实数不等于任意正整数，由于下标只能取正整数，所以自变量与该正实数的最小距离已知，又与趋于的定义所矛盾。

所以在自变量趋于正无穷的情况下，数列对应项的值无限逼近某一常数，即它们之间的距离随着自变量不断增大可以小于任意一个已知正数。这里需要纠正一种错误的定义，即随着自变量趋于无穷，若数列对应项与某一常数之间的距离 不断减小，则称该数列具有极限。其实不应该用不断减小这个词来描述极限，因为可能存在等于的情况。即在自变量趋于正无穷的情况下，数列对应项的值在 某一刻等于了某一常数，且以后恒等于这个常数，那么还能称这个值是极限值吗，即还能用极限来修饰这个值吗？

显然是可以的，因为 $\epsilon -\alpha$ 所定义的无限逼近并没有排除 $0$ 的情况，不妨假设 $x_N=a$，且之后恒等与 $a$，那么在 $n>N$ 之后，$|x_n-a|$ 显然小于任意的正数 $\epsilon$。

用定义求数列极限

在我们讲述了极限的定义之后，我们需要了解一下如何利用定义来求解数列的极限。

根据 $\epsilon -\alpha$ 语言所描述的，我们应该找到一个 $N$，使得当 $n>N$ 时 $|x_n-a|<\epsilon$ 使得对于任意正提前给定的 $\epsilon$ 都成立。只要找到了这样的 $N$，那么就一定能证明数列是有极限的。往往这样的 $N$ 都与 $\epsilon$ 有关。

收敛数列的性质

性质一 收敛数列的唯一性

如果数列 {xn}\{x_n\}{xn​} 收敛，那么它的极限唯一。

我们往往需要利用我们已经所知的定理/定义来证明一些看似显而易见的定理。

对于数列的极限这一节，我们其实只掌握了两个定义，一个是数列的定义，另一个是极限的定义。那么为什么说如果一个数列收敛，其极限值一定唯一呢？收敛指的是数列的性质，表示这个数列在 $n$ 趋于无穷的时候能取得极限。

如果一个具有极限的数列，具有两个数列，不妨我们设这两个极限值是 $A,B$，当 $n$ 趋于无穷时，必然能找到一个 $N$，使得当 $n>N$ 时，有 $|x_n-A|<\epsilon$ 和 $|x_n-B|<\epsilon$，对任意提前给定的 $\epsilon$ 都成立。

我们不妨将绝对值拆掉，则变成
$$\{\begin{array}{l}A-\epsilon <x_n<\epsilon +A\\ B-\epsilon <x_n<\epsilon +B\end{array}$$
对于任意的 $\epsilon$ 都成立，不妨设 $A<B$，则当 $\epsilon =\frac{B-A}{2}$ 时，等价于
$$\{\begin{array}{l}A-\epsilon <x_n<\frac{B+A}{2}\\ \frac{B+A}{2}<x_n<\epsilon +B\end{array}$$
显然出现了矛盾。所以 当数列收敛时，极限值必然唯一。

性质二 收敛数列的有界性

如果数列收敛，那么数列一定有界。即等价于一定存在一个正数 $M$ 对于任意 $n\in N_{+}$ 满足 $|x_n|\le M$。形象地说，因为数列的下标从 $1$ 开始，对于任何已知的下标其都有一个实数与之对应，所以我们只要令 $M$ 比这些实数大即可，所以数列唯一能够无界的机会是当 $n$ 趋于无穷时，数列值也趋于无穷，但是如果数列收敛的话，说明当 $n$ 趋于无穷时，数列只会趋于某个实数。

如果我们用 极限的定义来证明收敛数列的有界性，因为数列收敛，设极限值是 $A$，令 $\epsilon =|A|$，必然存在一个正整数 $N$ 使得当 $n>N$ 时，都有 $|x_n-A|<\epsilon$ 成立，则对于所有大于 $N$ 的 $n$ 都有 $A-|A|<x_n<A+|A|$。暂时令 $M=2|A|$，则我们可以知道此时所有大于 $N$ 的数列项是有界的，界可以是 $M$。

现在问题在于对于 $1,2,\cdots ,N$ 的数列项，我们怎么知道它是有界的？很简单，因为 $N$ 已经确定，所以根据数列的定义，$x_1,x_2,\cdots ,x_N$ 都有对应的实数，我们只要取 M=max⁡{2∣A∣,x1,x2,⋯ ,xn}M=\max\{2|A|,x_1,x_2,\cdots,x_n\}M=max{2∣A∣,x1​,x2​,⋯,xn​} 即可。

性质三 收敛数列的保号性

如果数列收敛，设其极限为 $A$，且 $A>0$，那么必然存在正整数 $N$ 使得当 $n>N$ 时，$x_n>0$。

这个证明也很简单，设 $\epsilon =A$，然后必然存在一个正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时 $|x_n-A|<A$，得出 $0<x_n<2A$。

这也引出了一个推论，若存在一个 $N$ 使得当 $n>N$ 时 $x_n\ge 0$，那么 $x_n$ 的极限 $A\ge 0$。

证明也很简单，如果极限小于 $0$，那么必然存在一个足够大的 $N$ 使得 $x_n\ge 0$ 和 $|x_n-A|<-\frac{A}{2}$ 同时成立，拆开绝对值就是 $\frac{3A}{2}<x_n<\frac{A}{2}$ 成立，即 $x_n<0$，矛盾。

性质四 收敛数列与其子数列间的关系

如果一个数列收敛，那么其任意子数列也收敛。如果一个数列不收敛，其子数列也有可能收敛。

首先我们定义一下 什么是子数列，就是从原数列里面选择特定项组成的数列，值得注意的是子数列也必须是无穷项，虽然到目前为止我们并没有定义无穷大与无穷大之间的比较，但是还是能直观感受到子数列的项是会少于原数列的。

所以，如果原数列收敛，则说明对于任意 $\epsilon >0$ 都存在一个正整数 $N$ 使得当 $n$ 大于 $N$ 时有 $|x_n-A|<\epsilon$，那么对于任意子数列而言，当 $n>N$ 必然也有 $|x_n^{\prime }-A|<\epsilon$。

那么如果原数列不收敛，其实是不能得出子数列不收敛的，比如原数列在 $n$ 为奇数时取 $1$，在 $n$ 为偶数时取 $0$，此时原数列不收敛，但是我们只要让其子数列一直取奇数项就行了。