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2.2.5 运算方法和运算电路【2011统考真题】

news 2025/11/6 6:37:48

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好的，这是一道非常经典的计算机组成原理综合题，它通过一小段C语言代码，全面考察了数据在计算机内部的表示、运算、溢出判断以及运算器的实现原理。

我们来一步一步、详细地解析这道题。

首先，附上题目原文：

2.2.5 运算方法和运算电路

(4)【2011统考真题】假定在一个 8 位字长的计算机中运行如下 C 程序段:

unsigned int x = 134;
unsigned int y = 246;
int m = x;
int n = y;
unsigned int z1 = x - y;
unsigned int z2 = x + y;
int k1 = m - n;
int k2 = m + n;

若编译器编译时将 8 个 8 位寄存器 R1~R8 分别分配给变量 x、 y、 m、 n、 z1、 z2、 k1 和 k2。请回答下列问题 (提示: 有符号整数用补码表示)。

在开始解题前，我们先做一些基础工作：将初始值 x 和 y 转换为8位二进制和十六进制。

unsigned int x = 134;
- 134 (十进制) = 128 + 4 + 2 = 1000 0110 (二进制)
- 1000 0110 (二进制) = 86H (十六进制)
- 这个值存放在寄存器 R1 中。
unsigned int y = 246;
- 246 (十进制) = 128 + 64 + 32 + 16 + 4 + 2 = 1111 0110 (二进制)
- 1111 0110 (二进制) = F6H (十六进制)
- 这个值存放在寄存器 R2 中。

寄存器R1的内容:
- R1存放的是变量x的机器码。根据我们的基础计算，R1的内容就是 86H。
寄存器R5的内容 (z1 = x - y):
- 这是一个无符号减法。在计算机中，减法通过加补码实现，即 x - y = x + (-y)的补码。
- x: 1000 0110
- y: 1111 0110
- 求(-y)的补码: 对y的机器码1111 0110变各位为反码再加1。
  - 取反: 0000 1001
  - 加 1: 0000 1010
- 相加:
```
  1000 0110  (x)
+ 0000 1010  (-y的补码)
-----------1001 0000
```
- 将结果转换为十六进制: 1001 -> 9，0000 -> 0。
- 结论: R5的内容是 90H。
寄存器R6的内容 (z2 = x + y):
- 这是一个无符号加法。
- 相加:
```
   1000 0110   (x = 134)+ 1111 0110   (y = 246)-----------
(1)0111 1100   (结果 = 380, 产生进位)
```
- 由于寄存器是8位的，最高位的进位1会被丢弃。存入寄存器的是0111 1100。
- 将结果转换为十六进制: 0111 -> 7，1100 -> C。
- 结论: R6的内容是 7CH。

变量m的值 (int m = x;):
- 这是一个类型转换。x的机器码 1000 0110 被赋给有符号整数 m。
- 我们需要将 1000 0110 这个补码解释为十进制数。
- 识别符号: 最高位是1，表示这是一个负数。
- 求原码: 对补码1000 0110再次求补码（取反加1）即可得到其绝对值的原码。
  - 取反: 0111 1001
  - 加 1: 0111 1010
- 计算大小: 0111 1010 (二进制) = 64 + 32 + 8 + 2 = 122 (十进制)。
- 结论: m 的值是 -122。
变量k1的值 (k1 = m - n;):
- 这是一个有符号减法。m 和 n 的机器码与 x 和 y 完全相同。
- 因此，m - n 的二进制运算过程与 x - y 完全一样，其结果的机器码也是 1001 0000。
- 现在我们需要将 1001 0000 这个补码解释为十进制数。
- 识别符号: 最高位是1，是负数。
- 求原码: 对补码1001 0000求补。
  - 取反: 0110 1111
  - 加 1: 0111 0000
- 计算大小: 0111 0000 (二进制) = 64 + 32 + 16 = 112 (十进制)。
- 结论: k1 的值是 -112。

结论: 能。
理由:
1. 加法统一: 无论是无符号数还是有符号数（补码），它们的加法运算规则在硬件层面是完全相同的。CPU执行二进制加法时，并不知道这两个数是signed还是unsigned，它只是执行A+B。结果的解释和溢出判断由后续逻辑决定。
2. 减法变加法: 任何减法运算 A - B 都可以通过计算 A + (-B) 来实现。-B 就是对B的机器码求补。求补运算可以通过简单的辅助电路（如各位取反器和在加法器最低位设置进位Cin=1）来实现。
- 因此，一个补码加法器，配上一个求补的辅助电路，就可以完成有符号和无符号数的全部加减运算。

如何判断溢出?
- 溢出只可能在“同号相加”或“异号相减”时发生。
- 方法一 (符号位法): 两个正数相加，结果为负数，则溢出。两个负数相加，结果为正数，则溢出。
- 方法二 (进位法/硬件法): 检查符号位的进位 (C_s) 和最高数值位的进位 (C_p)。如果 C_s 和 C_p 不相同 (C_s ⊕ C_p = 1)，则发生溢出。这是硬件中实际使用的方法。
哪些语句会溢出?
- 我们需要检查有符号运算：k1 = m - n; 和 k2 = m + n;。
- 分析 k1 = m - n;:
  - m 是负数 (-122)，n 是负数 (-10，因为其机器码1111 0110作为补码解释是-10)。
  - 运算是 (-122) - (-10) = -112。
  - 8位有符号数的表示范围是 [-128, 127]。-112 在此范围内，不溢出。
- 分析 k2 = m + n;:
  - 运算是 (-122) + (-10) = -132。
  - -132 超出了8位有符号数的表示范围 [-128, 127]，会发生溢出。
  - 用符号位法验证:
    - m 的机器码 1000 0110 (符号位1，负)
    - n 的机器码 1111 0110 (符号位1，负)
    - m + n 的结果机器码是 0111 1100 (如Q1计算)，其符号位是0 (正)。
    - 两个负数相加，结果为正数，判定为溢出。