MIT-寻找第k小的元素

问题描述

给定一个包含 $n$ 个互不相同整数的数组 $A[n]$，以及一个正整数 $k$，请你找出数组 $A$ 中第 $k$ 小的元素。

例子

输入
A = [7, 10, 4, 3, 20, 15]
k = 3输出
7

算法实现

暴力算法

寻找第 $k$ 小的元素最直接的方法是对所有的元素排序，然后取出数组 $A$ 中第 $k$ 个元素（$A[k]$）。

int bruteSearchKth(int &A[], int k, int n)
{quickSort(A, 0, n - 1);return A[k - 1];
}

时间复杂度：$O(n{\log }_{2}n)$

---

分治算法（快排思想）

MIT-归并排序和快速排序：参考这篇文章的 partition 函数。

int partition(int &A[], int low, int high)
{int i = low - 1, j = low;int x = A[high];while (j <= high - 1){if (A[j] < x) swap(A[ ++ i], A[j]);j ++ ;}swap(A[i + 1], A[high]);return i + 1;
}

我们记 partition 函数返回的值是 $q$，即表示第 $q$ 小的数 $A[q]$，那么：

• 若 $k<q$，则我们要找的结果就是在 $[low,q-1]$
• 若 $k>q$，则我们要找的结果就是在 $[q+1,high]$
• 若 $k=q$，则 $q$ 正是我们要找的那个值。

int DCSearchKth(int &A[], int k, int low, int high)
{int q = partition(A, low, high);if (q == k - 1) return A[q];else if (k - 1 < q) return DCSearchKth(A, k, low, q - 1);else (k > q) return DCSearchKth(A, k, q + 1, high);
}

时间复杂度：$O(n)$

假设 $n=2^h$ 且 $T(1)=O(1)$，$T(n)$ 是执行一次大小为 $n$ 次的 DCSearchKth 所需的时间。（假设每次都只进入分区的一半）

• DCSearchKth(A, low, q - 1) 或 DCSearchKth(A, q + 1, high)：$T(\frac{n}{2})$
• quickSort(A, mid + 1, high)：$T(\frac{n}{2})$
• int q = partition(A, low, high)：$O(n)$

$$\begin{array}{rl}T(n)& =T(\frac{n}{2})+O(n)\\ & \le T(\frac{n}{2})+cn\\ & \le T(\frac{n}{2^2})+cn(1+\frac{1}{2})\\ & \le ...\\ & \le T(\frac{n}{2^h})+cn\left[(\frac{1}{2}{)}^0+(\frac{1}{2}{)}^1+(\frac{1}{2}{)}^2+...+(\frac{1}{2}{)}^{h-1}\right]\\ & =T(1)+2cn(2^{-h}-1)\\ & =T(1)+2cn(\frac{1}{n}-1)\\ & \le O(1)+2cn\\ & =O(n)\end{array}$$