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Prim 算法

news 2025/11/5 12:21:27

$P r im$ 算法

文章目录

$P r im$ 算法
- 一、前言
- 二、 $P r im$ 算法
- - 2.1 基本思想
  - 2.2 步骤
  - 2.3 实现
  - - 2.3.1 定义结构
    - 2.3.2 $P r im$ 算法
  - 2.4 $Kr u s ka l$ 算法和 $P r im$ 算法优缺点辨析
  - 2.5 $Kr u s ka l$ 算法和 $P r im$ 算法应用
- 三、小结

一、前言

先前已讲过了 $Kr u s ka l$ 算法，是通过找（权值）最小的边来求得最小生成树的。今天的算法——Prim算法，将另辟蹊径，通过找顶点的方式最终确定最小生成树，接下来让我们一起揭开它神秘的面纱~

二、 $P r im$ 算法

2.1 基本思想

贪心

学过 $H u ff man$ 树和 $Kr u s ka l$ 算法之后，你是不是对贪心算法的基本含义已经很了解了，在这里它是怎样应用的呢？

每激活一个顶点，就选择当前节点到可到达顶点的最小权值的边，从而激活另一个顶点。

2.2 步骤

$P r im$ 算法的核心是激活顶点，因此，需要一个动态维护一个所有待激活的顶点的数组——mark数组。
最小生成树既然是找最小权值，自然离不开权值数组，方便做出最优选择——cost数组。
在形成最小生成树的过程中，我还想记录最小生成树的所有路径，因此需要一个visited数组，记录待激活顶点的前置顶点（上一个激活的顶点），从而确定完整的边。

从图中，任意选取一个顶点，激活它，发现新的边。
找到权值数组（以该点出发的边的权值数组）里最小的边，激活另外一个顶点。

如果说从一个顶点出发，到某一个顶点的距离一样怎么选择呢？

小孩子才做选择，成年人全都要~所以这两个方向形成的生成树都成立。

但是最小生成树的中最小是向来不能忽略的，一定是权值之和最小的存在，尽管在形成过程中，可能走向不同的方向，但是最终只有权值最小的存在才是最小生成树。

所以说，最小生成树可能不唯一，但是最小生成树的权值之和一定是唯一的。

如图：

最终形成的两种生成树都是最小生成树（蓝线画的）
更新权值数组，继续找最小的边，激活另外的顶点。（重复）
直到所有顶点都激活。

2.3 实现

2.3.1 定义结构

还是借助邻接矩阵来实现，利用边集数组来存储边~

/* 边集的结构 */
typedef struct
{int begin;          // 边的起点（顶点1）int end;            // 边的终点（顶点2）int weight;         // 边的权值
} EdgeSet;initMGraph(graph, names, sizeof(names)/sizeof(names[0]), 0, INF);

为什么在所有顶点未激活时，将所有权值设置为INF？

标识未访问的状态。

确保起点能被优先选择：算法需要从一个起点开始构建最小生成树，将起点设置为0，而其他是INF，确保起点能顺利激活。

为权值提供安全基准：每当考虑一个新顶点加入最小生成树中时，都需要检查并更新它的所有邻居顶点与当前最小生成树的距离。初始的INF作为一个巨大的值，确保了在第一次比较时，任何一条实际存在的、权重小于INF的边都能顺利触发更新操作。

2.3.2 $P r im$ 算法

// parameter:
// graph: 指向邻接矩阵的图结构
// startV: 表示激活的第一个顶点坐标
// result: 表示最小生成树的边的激活情况
int PrimMGraph(const MGraph *graph, int startV, EdgeSet *result)
{// cost数组表示图中各顶点的权值数组。不断更新已激活顶点能接触到的顶点之间边的权值int *cost = malloc(sizeof(int) * graph->nodeNum);// mark表示图中顶点激活的状态：0-未激活；1-已激活int *mark = malloc(sizeof(int) * graph->nodeNum);// 从哪个顶点开始访问，-1表示没有被访问到，访问到被赋予激活顶点的索引int *visited = malloc(sizeof(int) * graph->nodeNum);// 保存权值int sum = 0;// 更新第一个节点激活的状态for(int i = 0; i < graph->nodeNum; i++){// 初始化cost[i] = graph->edges[startV][i];// 表示一开始都未被激活mark[i] = 0;// 更新visited信息，从哪个节点可以访问if(cost[i] < INF){visited[i] = startV;}else{visited[i] = -1;}}// 激活mark[startV] = 1;int k = 0;// 动态激活节点，找最小值for (int i = 0; i < graph->nodeNum - 1; ++i)        // 遍历边(最小生成树n - 1条){int min = INF;k = 0;for (int j = 0; j < graph->nodeNum; ++j){if (mark[j] == 0 && cost[j] < min){min = cost[j];k = j;}}mark[k] = 1;result[i].begin = visited[k];result[i].end = k;result[i].weight = min;sum += min;// 每激活一个顶点，需要更新cost数组和visited数组for (int j = 0; j < graph->nodeNum; ++j){if (mark[j] == 0 && graph->edges[k][j] < cost[j]){cost[j] = graph->edges[k][j];visited[j] = k;}}}// 释放free(cost);free(mark);free(visited);// 放回最小权值return sum;
}