代码随想录训练营打卡Day34｜ 动态规划part03

0/1背包理论基础

题目链接：01背包理论基础

小明是一位科学家，他需要参加一场重要的国际科学大会，以展示自己的最新研究成果。他需要带一些研究材料，但是他的行李箱空间有限。这些研究材料包括实验设备、文献资料和实验样本等等，它们各自占据不同的空间，并且具有不同的价值。 

小明的行李空间为 N，问小明应该如何抉择，才能携带最大价值的研究材料，每种研究材料只能选择一次，并且只有选与不选两种选择，不能进行切割。

思路：每一件物品其实只有两个状态，取或者不取【可以用回溯的思想来找到最优解，O(2^n)】；

动规五部曲分析：

1. 确定dp数组以及下标的含义：dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少

2. 确定递推公式：新纳入物品重量超过背包重量，继承上方单元格；
比较 dp[背包容量 - 新加入物品] + 新加入物品价值 和 上方单元格 取最大值；

3. dp数组如何初始化

4. 确定遍历顺序：外层遍历是物品顺序，内层遍历是背包容量；

5. 举例推导dp数组

【要注意dp[i-1]越界的问题】

// 一维01背包模板，必须外层是物品、内层是容量倒序；
vector<int> dp(W + 1, 0);
for (int i = 1; i <= n; ++i) {            // 外层物品for (int j = W; j >= w[i]; --j) {     // 内层容量，必须倒序dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);}
}// 二维01背包，内外层顺序无所谓；
vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(W + 1,0));  // m 是容量上限
for(int i = 1; i < n; i++) {for(int j = 0; j < W; j++) {if(w[i] > j) dp[i][j] = dp[i-1][j];dp[i][j] = max(dp[i-1][j - w[i]] + v[i], dp[i-1][j]);}
}

416. 分割等和子集

题目链接：416. 分割等和子集

给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

思路：抽象为01背包；

Q：如何抽象为01背包？

A：这题就是经典的「等和分割 → 子集和 = 总和一半」，可直接抽象成0/1 背包

能否从 nums 里选一些数，使它们的和恰好等于 target = S/2

Q：这种抽象为01背包的思路是什么？有什么固定的套路或者特征？

A：只要你的题能转成 “在若干个元素中选择一部分，使它们满足某个约束（≤ / = / 恰好），并使某个目标最大/是否可达”，就可以抽象成 0/1 背包

✅ Step 1：识别出“选择问题”：每个元素是否选 → 二元状态

✅ Step 2：找到“约束变量”（容量）：问题中是否存在一个“上限”？

✅ Step 3：定义 dp 数组（状态转移）

PS：和两数之和这种问题的区别在于目标是找到恰好两个/三个数使和满足条件，而DP在于选部分数，使得和满足某种关系，而且每个数只有选/不选两种状态；