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计算机图形学·6 OpenGL编程3 谢尔宾斯基垫与三维编程

news 2025/11/4 14:56:21

本文是记录专业课“计算机图形学”的部分笔记，参考教材为Angel的第八版交互式计算机图形学——基于WebGL 2.0的自顶向下方法。
1、在OpenGL中，二维是三维的一个特例，而三维其实变化不大，使用 glVertex3*( )即可。需要考虑的是多边形的绘制顺序、使用隐藏面消除技术以及简单性、凸性和平面性。
2、让我们先考虑二维的The Sierpinski Gasket（谢尔宾斯基垫）：

算法如下图，核心是利用随机过程和迭代函数系统。具体流程是①在三角形内部任意选择一个初始点 p0；②从三角形的三个顶点中随机选择一个；③找到当前点 p与上一步选中的顶点之间的中点q并绘制；④将当前点 p的位置更新为刚刚计算出的中点 q的位置（即 pn+1=qn），为下一次迭代做准备；⑤跳回第二步。

上述算法是A1 gasket 2D Sierpinski Gasket Using Randomly Selected Vertices，而对于A2 Sierpinski Gasket 2D ，先从一个三角形开始，连接三边的中点并去掉中间的三角形，再重复上述过程。对于A2的分形效果，我们考虑填充区域（黑色）和周长（围绕填充三角形的所有线的长度）：随着我们继续细分，面积变为零但周长趋于无穷大，这不是一个普通的几何对象（既不是二维也不是三维）、而是一个分形（分形维数）对象（例如英格兰海岸线为1.02维）。

A2 Sierpinski Gasket 2D 示例程序：

#include <GL/glut.h>/* initial triangle */
GLfloat v[3][2]={{-1.0, -0.58}, {1.0, -0.58}, {0.0, 1.15}};/* number of recursive steps递归次数*/
int n; // 全局变量 递归层次//绘制三角形：
void triangle( GLfloat *a, GLfloat *b, GLfloat *c)
/* display one triangle */
{glVertex2fv(a); glVertex2fv(b); glVertex2fv(c);
}//三角形细分：
void divide_triangle(GLfloat *a, GLfloat *b, GLfloat *c, int m)
{
/* triangle subdivision using vertex numbers */point2 v0, v1, v2;int j;if(m>0) {for(j=0; j<2; j++) v0[j]=(a[j]+b[j])/2;for(j=0; j<2; j++) v1[j]=(a[j]+c[j])/2;for(j=0; j<2; j++) v2[j]=(b[j]+c[j])/2;divide_triangle(a, v0, v1, m-1);divide_triangle(c, v1, v2, m-1);divide_triangle(b, v2, v0, m-1);}elsetriangle(a,b,c);
/* draw triangle at end of recursion */
}//显示与初始化函数：
void display()
{glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);glBegin(GL_TRIANGLES);divide_triangle(v[0], v[1], v[2], n); // 全局参变量 nglEnd();glFlush();
}void myinit()
{glMatrixMode(GL_PROJECTION);glLoadIdentity();gluOrtho2D(-2.0, 2.0, -2.0, 2.0);glMatrixMode(GL_MODELVIEW);glClearColor (1.0, 1.0, 1.0,1.0); //背景白色，屏幕glColor3f(0.0,0.0,0.0); //前景黑色，三角形
}//主函数：
int main(int argc, char **argv)
{n=4; //程序指定，还可以用户输入，交互界面 或者 命令行glutInit(&argc, argv); // 初始化GLUT glutInitDisplayMode(GLUT_SINGLE|GLUT_RGB);glutInitWindowSize(500, 500);glutCreateWindow(“2D Gasket");glutDisplayFunc(display);myinit();glutMainLoop();
}

通过将glBegin和glEnd放在显示回调中而不是在triangle函数中，并在glBegin中使用GL_TRIANGLES而不是GL_POLYGON，我们只需为整个垫片调用一次glBegin和glEnd，而不是为所有三角形都调用一次。不过也可以用glDrawArrays(GL_TRIANGLES, 0, Nvertices);
3、而对于三维垫，可以使用三维点（GLfloat v[3][3]、glVertex3f、glOrtho）的方式，但不好。因此我们采用四面体（tetrahedron）方法。

//三角形代码：
void triangle( GLfloat *a, GLfloat *b, 
GLfloat *c)
{glVertex3fv(a);glVertex3fv(b);glVertex3fv(c);
}void divide_triangle(GLfloat *a, GLfloat *b, GLfloat *c, int m)
{GLfloat v1[3], v2[3], v3[3];int j;if(m>0){for(j=0; j<3; j++) v1[j]=(a[j]+b[j])/2;for(j=0; j<3; j++) v2[j]=(a[j]+c[j])/2;for(j=0; j<3; j++) v3[j]=(b[j]+c[j])/2;divide_triangle(a, v1, v2, m-1);divide_triangle(c, v2, v3, m-1);divide_triangle(b, v3, v1, m-1);}else(triangle(a,b,c));
}//生成四面体：
void tetrahedron(int m)
{glColor3f(1.0,0.0,0.0);divide_triangle(v[0], v[1], v[2], m);glColor3f(0.0,1.0,0.0);divide_triangle(v[3], v[2], v[1], m);glColor3f(0.0,0.0,1.0);divide_triangle(v[0], v[3], v[1], m);glColor3f(0.0,0.0,0.0);divide_triangle(v[0], v[2], v[3], m);
}

4、不过在三维中，由于三角形是按照程序中的定义顺序绘制的，因此前面的三角形并不总是渲染在它们后面的三角形前面，这涉及了遮挡/消隐问题：

我们只想看到位于其他表面之前的那些表面，OpenGL采用z缓冲算法，使用了一个硬件支持的额外缓冲区，在渲染对象时保存深度信息，以便图像中只显示前面的对象。使用时需要①在main.c中给绘制模式加上z缓冲区 glutInitDisplayMode (GLUT_SINGLE | GLUT_RGB | GLUT_DEPTH)；②在init.c中启动深度测试状态 glEnable(GL_DEPTH_TEST）；③清屏时候同时清理深度缓存glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | //当前可写的颜色缓存 GL_DEPTH_BUFFER_BIT)//将所有像素的深度值设置为最大可能距离（一般是远剪裁面）。
5、另外，在上述示例中，我们对每个物体进行了面分解，实际上体分解也是可以的：