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目录

一、问题描述

二、问题分析和解决

1、策略迭代算法

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一、问题描述

悬崖漫步

灰色格子代表悬崖，一旦进入就游戏失败；

绿色格子是终点，一旦进入就游戏成功；

白色格子是通路。

 

已知对于每个格子，可选的动作有4种，分别往上下左右走。

奖惩规则如下：

• 普通步长：-1（鼓励少走步）
• 撞墙：-2（略高于普通步长，减少撞墙）
• 终点：+50，悬崖陷阱：-100（明确目标和风险）

求每个格子的策略，使可以找到通往终点的最优路径。

二、问题分析和解决

这是一个有模型的情况：

对于特定的状态（格子）s，采取特定的动作a后，能到达的下一状态已知且概率已知，

获得的奖励已知且概率已知。

 

可以用策略迭代算法或者值迭代算法。

1、策略迭代算法

首先初始化策略，主要分为两个阶段：

（1）策略评估（Policy Evaluation）

需要计算出各个状态的value。

有两个方法：一个是根据贝尔曼公式求解，另一个是用迭代求解。

这里用迭代算法求解，直到value收敛（np.abs(values - old_values) < theta)）才结束。

具体来说，

即对于第k轮迭代，

某状态的 state value = 各个动作的q值 * 各个动作的概率 之和，

而q值  action value =  reward + next_state_value * 0.9。

注意此时next_state_value是上一轮，即k-1轮的值。

（2）策略改进（Policy Improvement）

get_pi() 使用贪心策略（np.argmax）选择每个状态的最优动作，生成确定性策略（概率1赋予最优动作）。

也可以采用用随机性策略：若多个动作的 Q 值相同，可均分概率。（但是值迭代算法一般默认greedy，不用随机性策略）

 

外层循环交替执行策略评估和策略改进，直到策略稳定（pi == old_pi）。

# 悬崖漫步
import numpy as np# 设置（获取）格子状态
def get_state(row, col):if row!=3 or col==0:return 'ground' # 通路if row==3 and col==11:return 'terminal' # 终点return 'trap' # 悬崖for row in range(4):for col in range(12):if get_state(row, col)=='ground':print('o', end=' ') # 不换行，用空字符结尾elif get_state(row,col)=='terminal':print('p', end=' ')else:print('x', end=' ')print()# 在特定s做特定a，求得到的下一s和r
def move(row, col, action):# 如果当前状态已经是掉进悬崖或者到达终点，直接返回（因为游戏结束了，不会再有状态转移）if get_state(row,col) in ['terminal', 'trap']:return row, col, 0  # 让它待在原地不能移动，原地不动没有奖惩# 状态转移if action == 0: # 向上走row-=1elif action == 1: # 向下走row+=1elif action == 2: # 向左走col-=1elif action == 3: # 向右走col+=1# 注意限制不能走出地图外面去out = 0 # 标记是否出界if row<0 or row>3 or col<0 or col>11:out = 1row = max(0,row)row = min(3,row)col = max(0,col)col = min(11,col)# 获得奖励reward = -1 # 普通步长if get_state(row, col)=='trap':reward = -100 # 陷阱if get_state(row, col)=='terminal':reward = 50 # 终点if out==1:reward = -2 # 出界（撞墙）return row, col, reward# 初始化state value table
values = np.zeros((4,12))
# 初始化q-table
q_table = np.zeros((4,12,4))
# 初始化策略（每个格子下采取动作的概率）
pi = np.ones((4,12,4))*0.25# 计算q
def get_q(row, col, action):# 当前rewardnext_row, next_col, reward = move(row, col, action)# 下一状态的valuenext_state_value = values[next_row, next_col]# s,a对应的action valuereturn reward + next_state_value * 0.9# 计算q-table（选择所有动作的可能性）
def get_q_table():new_q_table = np.zeros((4,12,4))# 遍历所有格子for row in range(4):for col in range(12):# 对于特定格子（状态），四个动作的q值for action in range(4):new_q_table[row, col, action] = get_q(row, col, action)return new_q_table# policy evaluation(value update)
def get_values():new_values = np.zeros((4,12))# 遍历所有格子for row in range(4):for col in range(12):# 终止状态价值为0if get_state(row, col) in ['terminal', 'trap']:new_values[row, col] = 0else:# 该状态的value = 各个动作的q值 * 各个动作的概率 之和new_values[row,col] = np.sum(q_table[row, col] * pi[row, col])return new_values# policy improvement(policy update)
def get_pi():new_pi = np.zeros((4,12,4))# 遍历所有格子for row in range(4):for col in range(12):# 终止状态无需策略if get_state(row, col) in ['terminal', 'trap']:continue# # 该状态下，有最大q值的动作有几个# max_q = np.max(q_table[row,col])# count = np.sum(q_table[row,col]==max_q)# # 让这些动作均分概率，其它为0# for action in range(4):#     if q_table[row,col,action]==max_q:#         new_pi[row, col, action]=1/count#     else:#         new_pi[row, col, action] =0# greedya = np.argmax(q_table[row, col])for action in range(4):if action == a:new_pi[row, col, action] = 1else:new_pi[row, col, action] = 0return new_pi# 循环迭代策略评估和策略提升，寻找最优解
# 增加收敛判断，可提前终止
theta = 1e-6  # 收敛阈值
for _ in range(100):old_pi = pi.copy()  # 保存旧策略old_values = values.copy()# 策略评估：直到价值函数收敛while True:q_table = get_q_table()values = get_values()if np.all(np.abs(values - old_values) < theta):break  # 价值函数收敛，结束本轮评估old_values = values.copy()  # 注意：要更新旧价值，继续迭代# 策略提升：生成新策略pi = get_pi()if np.all(pi == old_pi):break  # 策略不再变化时终止# 打印结果
for row in range(4):for col in range(12):state = get_state(row,col)if state == 'terminal':print('🚩', end=' ')  # 终点elif state == 'trap':print('🪨', end=' ')  # 悬崖else:action = np.argmax(pi[row, col])if action == 0:print('⬆️',end=' ')elif action == 1:print('⬇️', end=' ')elif action == 2:print('👈',end=' ')else:print('👉',end=' ')print()

注意：

如果当前状态已经是掉进悬崖或者到达终点（终止状态），

则在状态转移move函数中，直接返回原地状态和reward=0（因为游戏结束了，不会再有状态转移，让它待在原地不动，没有奖惩）；

在get_value函数中，终止状态的value为0（因为后续一直待在原地，奖惩一直为0）；

在get_pi函数中，终止状态无需策略，后面打印时打印陷阱或终点的图标即可。