MIT-最大连续子序列和（MCS）

问题描述

设有一家公司的历年利润记录如下：

在连续的若干年中，每一年的利润（单位：百万美元）可表示为一个序列：

$$P=[-3,2,1,-4,5,2,-1,3,-1]$$

问题的目标是：在该利润序列中，寻找一个连续子序列（contiguous subsequence），使得该子序列中所有元素的和达到最大值。

我们定义输入是一组数组 $A[\mathrm{1...}N]$。$V(i,j)$ 是区间 $[i,j]$ 中所有元素的额和，其中 $1\le i\le j\le n$ ，有：

$$V(i,j)=\sum _{x=i}^{j}A(x)$$

我们的目的是找到一组索引 $i\le j$，使得：

$$\forall (i^{\prime },j^{\prime }),V(i^{\prime },j^{\prime })\le V(i,j)$$

例子

在上述利润序列中，若选择第 5 年至第 8 年的利润（即 $[5,8]$ 区间），对应的子序列为 $[5,2,-1,3]$。其总利润为：

$$5+2-1+3=9$$

这是所有可能的连续年份区间中利润总和的最大值。因此，该公司在第 5 年至第 8 年期间取得了最高的累计利润 9 百万美元。

算法实现

暴力算法

首先我们想到的就是遍历所有可能的区间 $(i,j)$，然后来计算每个区间的 $V(i,j)$，从而找到最大的 $V(i,j)$。

int V;
int VMAX = A[1]
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{for (int j = i; j <= n; j ++ ){V = 0;for (int k = i; k <= j; k ++ )V += A[k];if (V > VMAX)	VMAX = V;}
}
return VMAX;

时间复杂度：$O(n^3)$

---

重用数组

假设数组 $A=[1,2,3,4,5]$

第一个暴力算法：

• 对于 $V(1,3)=A[1]+A[2]+A[3]=6$
• 对于 $V(1,4)=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]=10$

暴力算法重复计算了$A[1],A[2],A[3]$。而 $V(1,3)=A[1]+A[2]+A[3]$，我们可以发现$V(1,4)=V(1,3)+A[4]$。这样不就可以大幅度的减少了计算量。

故此我们定义：

$$V(i,j)=\sum _{x=i}^{j}A[x]=V(i,j-1)+A[j]$$

int VMAX = A[1];
int V;for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{V = 0;for (int j = i; j <= n; j ++ ){V += A[j];if (V > VMAX) VMAX = V;}
}
return VMAX;

时间复杂度：$O(n^2)$

---

分治算法（DC）

对于任意一个数组 $A(i,j)$，如果我们将它从中间分成两半（中点是 $M=\lfloor \frac{i+j}{2}\rfloor$）：

• 左半部分：$A(i,M)$
• 右半部分：$A(M+1,j)$

那么这个数组的最大连续子序列（MCS） 只可能存在于以下三种情况中：

• $S_1$：MCS 完全位于左半部分。
• $S_2$：MCS 完全位于右半部分。
• $A$：MCS 跨越了中点。这个子序列一定是由 $A(i,M)$ 的某个后缀（包含$A[M]$）和 $A[M+1,j]$的某个前缀（包含 $A[M+1]$）拼接而成。

即最后的 最大连续子序列（MCS） 是 $\max (S_1,S_2,A)。$

计算A的最大连续子序列（MCS）：

int Find_A(int A[], int i, int j, int M)
{int A_1, A_2;int MAX = A[M];int SUM = 0;// 计算A(i,M)的最大连续子序列的某个后缀（包含A[M]）for (int k = M; k >= i; k -- ){SUM += A[k];if (SUM > MAX) MAX = SUM;}A_1 = MAX;MAX = A[M + 1];SUM = 0;// 计算A(M + 1,j)的最大连续子序列的某个前缀（包含A[M + 1]）for (int k = M + 1; k <= j; k ++ ){SUM += A[k];if (SUM > MAX) MAX = SUM;}A_2 = MAX;return A_1 + A_2;
}

划分与合并

int MCS(int A[], int i, int j)
{if (i == j) return A[i];int M = (i + j) / 2;int S_1 = MCS(A, i, M);int S_2 = MCS(A, M + 1, j);int A = Find_A(A, i, j, M);return MAX(S_1, S_2, A);
}

时间复杂度：$O(n\log (n))$

设$m=j-i+1$，$T(m)$ 是执行 $MSC(A,i,j)$ 所需的时间。

• if (i == j) return A[i]：$O(1)$
• int M = (i + j) / 2：$O(1)$
• int S_1 = MCS(A, i, M)：$O(m/2)$
• int S_2 = MCS(A, M + 1, j)：$O(m/2)$
• int A = Find_A(A, i, j, M)：$O(m)$
• return MAX(S_1, S_2, A)：$O(1)$

前提条件：$O(1)=T(1)$，$n$ 是 2 的指数，且当 $n>1$ 时有，$T_n=2T(\frac{n}{2})+O(n)$

我们一定可以找到一个常数 $c$ ，使得 $T(n)\le 2T(\frac{n}{2})+cn$

$$\begin{array}{rl}{T}_n& \le 2T(\frac{n}{2})+cn\\ & \le 2\left[2T\left(\frac{n}{2^2}\right)+c\frac{n}{2}\right]+cn\\ & =2^{2}T\left(\frac{n}{2^2}\right)+2cn\\ & \le 2^2\left[2T\left(\frac{n}{2^3}\right)+c\frac{n}{2^2}\right]+2cn\\ & =2^{3}T\left(\frac{n}{2^3}\right)+3cn\\ & \le ...\\ & =2^{h}T\left(\frac{n}{2^h}\right)+hcn\end{array}$$

我们令 $h={\log }_{2}n$，所以 $n=2^h$，有：

$$T(n)\le nT(1)+cn({\log }_{2}n)=O(n)+cn{\log }_{2}n=O(n{\log }_{2}n)$$

---

动态规划解法

1. 定义状态：

   • 设 dp[i] 表示以第 i 个元素结尾的最大子序列和。
   • 目标是找到所有 dp[i] 的最大值，这个最大值即为整个数列中的最大连续子序列和。

2. 状态转移：

   • 对于每个元素 A[i]，我们可以选择将它加入前面的子序列，或者从 A[i] 开始新的子序列。
   • 公式为：
     $$dp[i]=\max (dp[i-1]+A[i],A[i])$$
     这表示我们要么把 A[i] 加到之前的最大和（即继续前面的子序列），要么从 A[i] 开始一个新的子序列。

max_sum = A[1];
dp[1] = A[1];
for (int i = 2; i <= n; i ++ )
{dp[i] = max(dp[i - 1] + A[i], A[i]);max_sum = max(max_sum, dp[i])
}return max_sum;

时间复杂度：$O(n)$