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⭐算法OJ⭐跳跃游戏【BFS+滑动窗口】（C++实现）Jump Game 系列 III,VII

news 2025/10/16 1:57:52

⭐算法OJ⭐跳跃游戏【贪心算法】（C++实现）Jump Game 系列 I,II

这篇文章介绍 跳跃游戏 的第三题和第七题，两道题目有异曲同工之妙，都运用了BFS广度优先搜索算法实现，难度相比于前两题较高，而且不同于更常见的在二维矩阵或者图中的BFS，一维的BFS更加抽象，同时也更能揭示算法的本质。我们一起来看看吧！

1306. Jump Game III

Given an array of non-negative integers arr, you are initially positioned at start index of the array. When you are at index i, you can jump to i + arr[i] or i - arr[i], check if you can reach any index with value 0.

Notice that you can not jump outside of the array at any time.

Example 1:

Input: arr = [4,2,3,0,3,1,2], start = 5
Output: true
Explanation: 
All possible ways to reach at index 3 with value 0 are: 
index 5 -> index 4 -> index 1 -> index 3 
index 5 -> index 6 -> index 4 -> index 1 -> index 3

Example 2:

Input: arr = [4,2,3,0,3,1,2], start = 0
Output: true 
Explanation: 
One possible way to reach at index 3 with value 0 is: 
index 0 -> index 4 -> index 1 -> index 3

Example 3:

Input: arr = [3,0,2,1,2], start = 2
Output: false
Explanation: There is no way to reach at index 1 with value 0.

问题描述

给定一个非负整数数组 arr，你最初位于数组的起始下标 start。当你位于下标 i 时，你可以跳到 i + arr[i] 或 i - arr[i]。请检查你是否能够到达数组中任意一个值为 0 的下标。

解题思路

这个问题可以通过广度优先搜索（BFS） 来解决。我们需要从起始下标开始，尝试向左右两个方向跳跃，并检查是否能够到达值为 0 的下标。

步骤

使用一个队列来存储待访问的下标。
使用一个数组 visited 来记录已经访问过的下标，避免重复访问。
从起始下标开始，尝试向左右两个方向跳跃：
- 如果跳跃后的下标合法且未被访问过，则将其加入队列。
- 如果跳跃后的下标值为 0，则返回 true。
如果队列为空且未找到值为 0 的下标，则返回 false。

bool canReach(vector<int>& arr, int start) {
    int n = arr.size();
    vector<bool> visited(n, false); // 记录是否访问过
    queue<int> q; // BFS 队列

    q.push(start); // 将起始下标加入队列
    visited[start] = true; // 标记为已访问

    while (!q.empty()) {
        int current = q.front(); // 取出当前下标
        q.pop();

        // 如果当前下标值为 0，返回 true
        if (arr[current] == 0) {
            return true;
        }

        // 向左跳跃
        int left = current - arr[current];
        if (left >= 0 && !visited[left]) {
            visited[left] = true;
            q.push(left);
        }

        // 向右跳跃
        int right = current + arr[current];
        if (right < n && !visited[right]) {
            visited[right] = true;
            q.push(right);
        }
    }

    // 如果队列为空且未找到值为 0 的下标，返回 false
    return false;
}

复杂度分析

时间复杂度：每个下标最多被访问一次，时间复杂度为 $O (n)$ ，其中 $n$ 是数组的长度。
空间复杂度：使用了队列和 visited 数组，空间复杂度为 $O (n)$ 。

总结

通过 BFS，我们可以高效地解决这个问题。BFS 的核心思想是从起始点出发，逐层扩展搜索范围，直到找到目标或遍历完所有可能的下标。这种方法不仅适用于本题，还可以推广到类似的图搜索问题中

1871. Jump Game VII

You are given a 0-indexed binary string s and two integers minJump and maxJump. In the beginning, you are standing at index 0, which is equal to '0'. You can move from index i to index j if the following conditions are fulfilled:

i + minJump <= j <= min(i + maxJump, s.length - 1), and
s[j] == '0'.

Return true if you can reach index s.length - 1 in s, or false otherwise.

Example 1:

Input: s = "011010", minJump = 2, maxJump = 3
Output: true
Explanation:
In the first step, move from index 0 to index 3. 
In the second step, move from index 3 to index 5.

Example 2:

Input: s = "01101110", minJump = 2, maxJump = 3
Output: false

解题思路

这个问题可以通过 广度优先搜索（BFS） 或 动态规划 来解决。我们需要从起始下标 0 开始，尝试跳跃到满足条件的位置，并检查是否能够到达最后一个下标。

动态规划思路

定义状态：
dp[i] 表示是否可以从起始位置跳到下标 i。
初始化：
dp[0] = true，因为起始位置是 0。
状态转移：
对于每个下标 i，如果 dp[i] == true，则尝试跳跃到 [i + minJump, i + maxJump] 范围内的所有 j，如果 s[j] == '0'，则设置 dp[j] = true。
结果：
返回 dp[n - 1]，其中 n 是字符串的长度。

优化

使用滑动窗口优化跳跃范围，避免重复计算。

bool canReach(string s, int minJump, int maxJump) {
    int n = s.length();
    if (s[n - 1] != '0') {
        return false; // 如果最后一个字符不是 '0'，直接返回 false
    }

    vector<bool> dp(n, false); // dp[i] 表示是否可以跳到下标 i
    dp[0] = true; // 起始位置是 0

    int prev = 0; // 记录上一个可以跳跃的范围
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if (!dp[i]) {
            continue; // 如果当前下标不可达，跳过
        }

        // 计算当前跳跃范围
        int left = i + minJump;
        int right = min(i + maxJump, n - 1);

        // 滑动窗口优化：跳过已经处理过的范围
        if (left > prev) {
            prev = left;
        } else {
            left = prev + 1;
        }

        // 遍历跳跃范围
        for (int j = left; j <= right; ++j) {
            if (s[j] == '0') {
                dp[j] = true;
            }
        }

        // 如果已经到达最后一个下标，直接返回 true
        if (dp[n - 1]) {
            return true;
        }
    }

    return dp[n - 1];
}