函数列的上下极限

我们来证明这两个等式：

定义回顾：
对于实数序列 ({a_n})，上极限和下极限定义为：

• (\limsup_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (\sup_{m \geq n} a_m))
• (\liminf_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (\inf_{m \geq n} a_m))

证明：

第一部分：证明 (\limsup_{n \to \infty} f_n(x) = \inf_{n \geq 1} \sup_{m \geq n} f_m(x))

令 (b_n = \sup_{m \geq n} f_m(x))，则：

• 序列 ({b_n}) 是单调递减的（因为当 (n) 增加时，上确界是在更小的集合上取的）
• 单调序列的极限等于其下确界，即：
  [
  \lim_{n \to \infty} b_n = \inf_{n \geq 1} b_n
  ]
• 但根据定义，(\lim_{n \to \infty} b_n = \limsup_{n \to \infty} f_n(x))

因此：
[
\limsup_{n \to \infty} f_n(x) = \inf_{n \geq 1} \sup_{m \geq n} f_m(x)
]

第二部分：证明 (\liminf_{n \to \infty} f_n(x) = \sup_{n \geq 1} \inf_{m \geq n} f_m(x))

令 (c_n = \inf_{m \geq n} f_m(x))，则：

• 序列 ({c_n}) 是单调递增的（因为当 (n) 增加时，下确界是在更小的集合上取的）
• 单调序列的极限等于其上确界，即：
  [
  \lim_{n \to \infty} c_n = \sup_{n \geq 1} c_n
  ]
• 但根据定义，(\lim_{n \to \infty} c_n = \liminf_{n \to \infty} f_n(x))

因此：
[
\liminf_{n \to \infty} f_n(x) = \sup_{n \geq 1} \inf_{m \geq n} f_m(x)
]

证毕。

直观理解：

• 上极限是序列"最终上界"的极限
• 下极限是序列"最终下界"的极限
• 通过取 (\sup_{m \geq n}) 和 (\inf_{m \geq n})，我们聚焦于序列的"尾部行为"
• 再取极限就得到了序列的极限上下界

这个结果在实分析和测度论中非常重要，因为它将函数序列的极限行为转化为可测函数的运算，从而可以研究极限函数的可测性。