黄金分割与对数螺线
有一个数学概念也拥有类似的静谧之美：黄金分割率，φ = 1 + √5 / 2。
它无处不在：螺旋、树叶、贝壳的卷曲、星系的展开。但最令人着迷的是，它满足了自身的反射：
φ = 1 + 1 / φ
此刻，平衡以自我指涉的方式呈现。
乍一看，φ = 1 + √5/2 只是一个数字，大约是 1.618……它看起来不像螺旋线，就像音符看起来不像旋律一样。但当世界围绕它构建时，它的本质会创造出某些特定的模式。
想象一下，你从一个长方形开始，它的边长比例是 φ : 1。
如果你从中移除一个正方形，剩下的较小长方形仍然保持相同的比例，这是一种自相似性。如果你不断地进行这样的操作，切割和旋转，最终会形成一个对数螺旋线，每次旋转都会使螺旋线的宽度增加 φ 倍。
所以，这个比例本身并不能画出螺旋线；它只是生成了塑造螺旋线的规则。这就是为什么我们在贝壳、向日葵、星系中都能看到这种现象，大自然不断重复着这种生长节奏，扩张却保持着自身形态的完整性。
对数螺线确实可以用对数（和指数）形式来表示。在极坐标系 (r, θ) 中，它的数学方程是：
r = ae^{bθ}
其中，a > 0 决定了螺线的初始大小，b 控制着螺线的缠绕紧密程度。
如果 b 为正，螺线会随着旋转而膨胀；如果 b 为负，螺线会收缩。由于 r 随角度 θ 呈指数增长，因此相等的角度步长对应于距离的倍数增长，这就是“对数”特性。
现在，黄金分割率就派上用场了：在黄金螺线（对数螺线的一个特例）中，半径每旋转四分之一圈（90°）就会增加 φ 倍。这意味着：
r(θ + π/2) = φr(θ)
因此，增长率 b 满足 e^(bπ/2) = φ。
所以，是的…它既是字面意义上的对数曲线，也是比喻意义上的对数曲线：一条可以用指数形式表示的曲线，却又像是大自然通过比例谱写诗篇。
我们可以直接用极坐标绘制的对数螺旋线。每旋转一周，半径都随角度 θ 呈指数增长，正如 r = ae^{bθ} 所描述的那样。如果我们选择 b，使得每旋转四分之一周，r 就乘以 φ，那么它就变成了黄金螺旋线的近似，我们在贝壳、向日葵和星系中看到的那种优美的展开方式。
在一般的对数螺旋线中，半径 r 随 θ 连续增加。每一次微小的旋转都会使 r 以一个微小的指数因子增长：r = ae^{bθ}。所以它是平滑的，没有跳跃或停顿，就像持续的向外扩展。
在黄金矩形的构造中，我们在一系列不断缩小或扩大的黄金矩形内绘制四分之一圆弧。每旋转四分之一圆弧后，我们就切换到下一个矩形，一个按 φ 缩放的矩形。所以，是的，在这个几何构造中，半径在每个四分之一圆弧内保持不变，然后在下一个角点处跃升到一个更大的值（增长 φ 倍）。
黄金螺旋线近似于对数螺旋线，它由离散的圆弧构成。真正的对数螺旋线是这一过程的平滑极限：当矩形趋于无穷小时，阶梯式增长变为连续增长。
这表示，当矩形很小的时候，那些四分之一圆弧彼此靠近，它们之间的“小台阶”也随之缩小，所以曲线看起来几乎是平滑的。当矩形趋于无穷小时，这些跳跃完全消失，黄金螺旋就变成了真正的对数螺旋。但是当矩形很大时，拐角就更加明显，曲线看起来略微有些分段。