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前言

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题解

2021 RoboCom 世界机器人开发者大赛-本科组（复赛）解题报告

感觉这个T1特别有意思，非典型题，着重推演下结论。

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7-1 冒险者分队

分值： 20分

思路：解方程组 + 中位数定律

题意省流：

三个数a, b, c 通过如下操作变为 d, e, f

1. 选择某个数+40，其余两数-20
2. 选择某个数-40，其余两数+20

求最小的操作步骤数，如不存在则返回-1

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这类贪心题挺难，如何证明，以及写对挺难得。

前置论点:

• 某个数不可能同时存在+40，又-40的操作，因为两两抵消属于无用功，要满足最小步骤，必然只有一个操作方向
• a + b + c = d + e + f

$令x_1，x_2，x_3分别为a,b,c对应40的操作次数,(x_1,x_2,x_3\in Z)$

• $若x_k>0,说明+40操作x_k次$
• $若x_k<0,说明-40操作|x_k|次$

构建对应的三元一次方程组,

$$\{\begin{array}{c}40x_1-20x_2-20x_3=d-a=y_1\\ -20x_1+40x_2-20x_3=e-b=y_2\\ -20x_1-20x_2+40x_3=f-c=y_3\end{array}$$

$$求f(x_1,x_2,x_3)=|x_1|+|x_2|+|x_3|最小$$

该方程组的秩为2，没法解, 但是可以把$x_1,x_2表示为x_3的形态$

方程组进行变换为，可求得

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=(2y_1+y_2)/60+x_3\\ x_2=(2y_2+y_1)/60+x_3\end{array}$$

进而
$$f(x_1,x_2,x_3)=|x_1|+|x_2|+|x_3|$$
$$\Rightarrow f(x_1,x_2,x_3)=|x_3+(2y_1+y_2)/60|+|x_3+(2y_2+y_1)/60|+|x_3|$$
$$\Rightarrow f(x_1,x_2,x_3)=|x_3-z_1|+|x_3-z_2|+|x_3-z_3|$$

求这个得最小值，不就是 中位数定律 吗？

取 $z_1=-(2y_1+y_2)/60,z_2=-(2y_2+y_1)/60,z_3=0三个数的中间值，带入f(x_1,x_2,x_3)即可$

当然这边的额外条件是

保证 $-(2y_1+y_2)/60,-(2y_2+y_1)/60$ 需为整数

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;int64_t median(int64_t a, int64_t b, int64_t c, int64_t x) {return abs(x - a) + abs(x - b) + abs(x - c);
}int main() {int t;cin >> t;while (t-- > 0) {int64_t a, b, c;int64_t d, e, f;cin >> a >> b >> c;cin >> d >> e >> f;if (a + b + c != d + e + f) {cout << -1 << "\n";continue;}int64_t y1 = d - a;int64_t y2 = e - b;if ((2*y1 + y2) % 60 != 0 || (2 * y2 + y1) % 60 != 0) {cout << -1 << "\n";continue;}// 方程组求解int64_t z1 = (2 * y1 + y2) / 60;int64_t z2 = (2 * y2 + y1) / 60;vector<int64_t> tmp = {-z1, -z2, 0};sort(tmp.begin(), tmp.end());// 中位数定律int64_t res = median(-z1, -z2, 0, tmp[1]); // tmp[1]为中点cout << res << "\n";}return 0;
}

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写在最后