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问题

有100个球，其中50个红球和50个黑球，要分配到两个袋子中。然后随机选择一个袋子，再从中随机取一个球，目标是使取到红球的概率最大。

我的回答

首先，我们来分析一下问题。有100个球，其中50个红球和50个黑球，要分配到两个袋子中。然后随机选择一个袋子，再从中随机取一个球，目标是使取到红球的概率最大。

这个问题的关键在于理解"随机"选择袋子意味着每个袋子被选中的概率都是1/2。

我的思路是：如果我们能让其中一个袋子的红球比例非常高，那么整体取到红球的概率就会提高。极端情况下，如果一个袋子只装红球，那么选择这个袋子时取到红球的概率是100%。

让我们假设第一个袋子放x个红球和y个黑球，第二个袋子就会有(50-x)个红球和(50-y)个黑球。

取到红球的总概率是：

P(红球) = P(选袋子1) × P(从袋子1取到红球) + P(选袋子2) × P(从袋子2取到红球)

= 1/2 × [x/(x+y)] + 1/2 × [(50-x)/(100-x-y)]

要使这个概率最大，最好的策略是：

• 在第一个袋子中放1个红球和0个黑球

• 在第二个袋子中放49个红球和50个黑球

这样，取红球的概率为：

P(红球) = 1/2 × [1/1] + 1/2 × [49/99] = 1/2 × 1 + 1/2 × 49/99 ≈ 0.5 + 0.247 = 0.747

也就是说，大约有74.7%的概率能取到红球。

这个分配之所以最优，是因为我们创造了一个"确定性"的袋子（100%是红球），同时让另一个袋子的红球比例尽可能高。

当然，我们也可以反过来，在第一个袋子放0个红球和1个黑球，第二个袋子放50个红球和49个黑球，结果是一样的。

这个问题的关键洞察是：不均匀分配会比均匀分配产生更高的期望值。