【11408学习记录】考研数学精讲：概率论随机变量与分布函数核心突破

数学

概率论与数理统计

随机变量的概念

对 $y=y(x)$ 而言，$x$ 为确定性变量，$y$ 是确定性函数值.

对 $X=X(\omega )$ 而言，$X$ 是不确定变量.

随机变量就是“其值会随机而定”的变量.

设随机试验 $E$ 的样本空间 Ω={ω}\Omega = \{\omega\}Ω={ω} ，如果对每一个 $\omega \in \Omega$ ，都有唯一的实数 $X(\omega )$ 与之对应，并且对任意实数 x,{ω∣X{ω}≤x,ω∈Ω}x, \{\omega | X\{\omega\} \leq x, \omega \in \Omega\}x,{ω∣X{ω}≤x,ω∈Ω} 是随机事件，则称定义在 $\Omega$ 上的实值单值函数 $X(\omega )$ 为随机变量，简记为随机变量 $X$ ，一般用大写字母 $X,Y,Z,\cdots$ 或希腊字母 $\xi ,\eta ,\zeta ,\cdots$ 来表示随机变量.

分布函数的概念及性质

概念
设 $X$ 是随机变量，$x$ 是任意实数，称函数 F(x)=P{X≤x}(x∈R)F(x) = P\{X \leq x\}(x \in R)F(x)=P{X≤x}(x∈R) 为随机变量 $X$ 的分布函数，或称 $X$ 服从 $F(x)$ 分布，记为 $X\sim F(x)$.

性质

1. $F(x)$ 是 $x$ 的单调不减函数，即对任意实数 $x_1<x_2$ ，有 $F(x_1)\le F(x_2)$ ；

2. $F(x)$ 是 $x$ 的右连续函数，即对任意 $x_0\in R$ ，有 $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }F(x)=F(x_0+0)=F(x_0)$ ；

3. $F(-\infty )=\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x)=0,F(+\infty )=\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)=1$.

分布函数的应用——求概率

P{X≤a}=F(a)P{X<a}=F(a−0)P{X=a}=F(a)−F(a−0)P{a<X<b}=F(b−0)−F(a)P{a≤X<b}=F(b−0)−F(a−0)P{a<X≤b}=F(b)−F(a)P{a≤X≤b}=F(b)−F(a−0)\begin{align} \notag&P\{X \leq a\} = F(a) \\ \notag&P\{X < a\} = F(a - 0)\\ \notag&P\{X = a\} = F(a) - F(a - 0)\\ \notag&P\{a < X < b\} = F(b - 0) - F(a)\\ \notag&P\{a \leq X < b\} = F(b - 0) - F(a - 0)\\ \notag&P\{a < X \leq b\} = F(b) - F(a)\\ \notag&P\{a \leq X \leq b\} = F(b) - F(a - 0)\\ \end{align} ​P{X≤a}=F(a)P{X<a}=F(a−0)P{X=a}=F(a)−F(a−0)P{a<X<b}=F(b−0)−F(a)P{a≤X<b}=F(b−0)−F(a−0)P{a<X≤b}=F(b)−F(a)P{a≤X≤b}=F(b)−F(a−0)​​

英语

每日一句

Among the annoying challenges facing the middle class is one that will probably go unmentioned in the next presidential campaign : What happens when the robots come for their jobs ?​(2018, Reading Comprehension, Part A Text 1)

词汇

challenge: n. 挑战；质疑
presidential campaign: 总统大选
campaign: n. 竞选；运动，活动

第一步：找谓语

Among the annoying challenges facing the middle class is one that will probably go unmentioned in the next presidential campaign : What happens when the robots come for their jobs ?​

第二步：断句

原句中存在4处谓语，包含4件事，其谓语分别分布在以下位置：

• is 为冒号前的主句谓语
• wil go 为 that 引导的定语从句谓语
• happens 为 what 引导的疑问句谓语
• come 为 when 引导的时间状语从句谓语

按照标点、引导词以及谓语，可以将原句断开为以下分句：

• Among the annoying challenges facing the middle class is one —— 主句
• that will probably go unmentioned in the next presidential campaign : —— 定语从句
• What happens —— 疑问句
• when the robots come for their jobs ?​ —— 时间状语从句

第三步：简化

主句

Among the annoying challenges facing the middle class is one

• 主句主语部分：one
• 主句谓语部分：is
• 主句表语部分：Among the annoying challenges facing the middle class

去掉主句扩展部分，就得到了主句核心：

• among …… challenges …… is one —— 在……挑战之上 …… 是一个

定语从句

that will probably go unmentioned in the next presidential campaign :

• 从句引导词：that 引导定语从句，修饰代词：one
  • 引导词：that 在从句中作主语
• 从句谓语部分：will probably go
• 从句宾语部分：unmentioned in the next presidential campaign :

去掉从句扩展部分，就得到了从句核心：

• that will …… go unmentioned …… —— 那个将 …… 不被提及……

疑问句

What happens

• 疑问句引导词：what 引导疑问句
• 疑问句谓语部分：happens

去掉疑问句扩展部分，就得到了疑问句核心：

• what happens …… —— 发生什么……？

时间状语从句

when the robots come for their jobs ?

• 从句引导词：when 引导时间状语从句
• 从句主语部分：the robots
• 从句谓语部分：come
• 介词短语：for their jobs

去掉从句扩展部分，就得到了从句核心：

• when …… robots come …… —— 当……机器人到来……