奇偶分家：破解n^4+4^n的合数身份

📜 题目呈现

证明：对任意整数 $n>1$，数 $n^4+4^n$ 不是素数．

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💡 破题思路：当奇偶性“分家”时，代数变形来救场！

看到题目要求证明一个复杂的表达式 恒为非素数，第一反应是：“素数？那得先排除偶数情况！”——因为大于 2 的偶数全是合数啊！于是立刻分两拨讨论：

1. 当 $n$ 为偶数：

   • $n^4$ 是偶数，$4^n$ 更是偶数（毕竟 4 的任意次幂都是偶数），偶数加偶数还是偶数．
   • 又因为 $n>1$，所以 $n^4+4^n>2$．
   • 破题点 ⚠️：大于 2 的偶数必有因子 2，妥妥的合数！
   • 于是偶数情况秒杀✅．

2. 当 $n$ 为奇数：

   • 问题来了：奇数加偶数可能是奇数是素数？比如 $2+3=5$！所以不能直接下结论．
   • 关键联想 💡：看到 $n^4$ 和 $4^n=(2^2{)}^n=2^{2n}$，联想到 代数恒等式 $x^4+4y^4$ 可因式分解！
   • 但这里 $4^n$ 不是 $4\cdot y^4$ 的形式……别急！令 $n=2m+1$（因为 $n$ 是奇数），就能把 $4^n$ 写成 $4\cdot (2^m{)}^4$，完美匹配 $x^4+4y^4$ 的结构！

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🔑 关键推导：奇数的“变形计”

设 $n=2m+1$（$m\ge 1$），则：
$$n^4+4^n=n^4+4\cdot 4^{2m}=n^4+4\cdot (2^m{)}^4．$$
接下来上演“配方拆项”大法——加减同一个量凑平方差公式：
$$\begin{array}{rl}& n^4+4\cdot (2^m{)}^4\\ =& n^4+4n^2\cdot (2^m{)}^2+4\cdot (2^m{)}^4-4n^2\cdot (2^m{)}^2\\ =& (n^2+2\cdot 2^{2m}{)}^2-(2n\cdot 2^m{)}^2\\ =& \left(n^2+2^{m+1}n+2^{2m+1}\right)\left(n^2-2^{m+1}n+2^{2m+1}\right)．\end{array}$$

易错点 ⚠️：此处配方需保证新增项 不改变原式值（先加后减），属于“无中生有”的经典操作．

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✅ 分解验证：为什么这两个因式都大于 1？

1. 第一个因式：$n^2+2^{m+1}n+2^{2m+1}$

   • 全是正项，且 $n\ge 3$（因 $n>1$ 且为奇数），显然 $\ge 3^2+2^2\cdot 3+2^3=9+12+8=29>1$．

2. 第二个因式：$n^2-2^{m+1}n+2^{2m+1}$

   • 可改写为 $(n-2^m{)}^2+2^{2m}$（为什么？因为：$n^2-2\cdot 2^{m}n+(2^m{)}^2+2^{2m}=(n-2^m{)}^2+2^{2m}$）．
   • 破题点 💡：平方项 $(n-2^m{)}^2\ge 0$，加上 $2^{2m}\ge 4$（因 $m\ge 1$），故整个式子 $\ge 4>1$．

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📚 解题策略总结：一招“分类讨论+代数变形”吃遍天

1. 分类讨论优先：

   • 遇到整数性质问题（如素数判定），先按 奇偶性、模余数 等分类，往往能简化问题．

2. 恒等变形技巧：

   • 配方拆项：通过加减同一项制造平方差（如本题）或完全平方．
   • 结构联想：将复杂项拆解为已知公式形式（如 $x^4+4y^4$）．

3. 因式分解验证：

   • 分解后务必验证各因式 是否大于 1（否则可能无效，如 $3=3\times 1$ 但 1 不是真因子）．

💬 师生互动：有同学问：“为什么想到令 $n=2m+1$？”
——因为奇数的一般表达式是 $2k+1$，这里用 $m$ 代替 $k$ 是为了后续指数项 $2^m$ 书写方便，属于“表达优化”小心机！

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🥚 课后彩蛋：费马数的“翻车现场”

延伸思考：形如 $F_n=2^{2^n}+1$ 的数称为费马数．
费马曾猜想所有 $F_n$ 都是素数，但欧拉打脸：
$$F_5=4294967297=641\times 6700417．$$
挑战题：尝试用类似本题的因式分解法证明 $F_5$ 是合数．

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📚 本文参考策略：分类讨论、代数变形、公式逆向构造．
👉 互动：你还见过哪些“看似素数实则合数”的经典例子？欢迎在评论区分享～