B样条曲线节点消去判断方法介绍
在B样条曲线的几何造型中，节点消去（knot removal）是简化曲线表示的一种重要操作。判断一个节点是否可以被消去而不改变曲线的形状（或在允许的误差范围内），通常基于控制点的变化量和几何容差进行评估。
以下介绍一种常用的节点消去判断方法，其核心思想是：通过反演算法计算节点插入前的控制点，并与原始控制点比较，若偏差小于给定容差，则认为该节点可被消去。
1. 基本符号定义
设原 B 样条曲线具有以下参数：
- 次数：p
- 节点向量：𝐔 = { u₀, u₁, …, uₘ }，共 m + 1 个节点
- 控制点序列：𝐏ᵢ ∈ ℝᵈ，其中 i = 0, 1, …, n，共 n + 1 个控制点
- 待检测消去的节点值：ū
- 节点 ū 在节点向量中的重数为 r（即出现 r 次）
目标是判断是否可以将节点 ū 的重数从 r 减少为 r − 1（即“消去一次”该节点），且不显著改变曲线形状。
2. 节点消去可行性判断原理
采用控制点反演法（Inverse Knot Removal）进行判断。其基本思想是：
若某节点是由先前插入操作引入的，则可通过逆向计算恢复原始控制点；若恢复后的控制点与实际控制点偏差很小，则说明该节点是冗余的，可以安全移除。
3. 关键步骤与判断公式
（1）确定受影响的控制点区间
查找最小索引 k，使得：
u_k ≤ ū < u_{k+1}
则节点 ū 影响的控制点索引范围为：
j ∈ [ k - p + r , k ]
这些控制点在消去操作中可能发生变化。
（2）反演算法计算近似原控制点
对于每个 j ∈ [ k - p + r , k ]，使用反演算法计算未插入节点 ū 时的“应有”控制点 Q_j：
Q_j = [ (ū - u_j) × P_{j-1} + (u_{j+p+1-r} - ū) × P_j ] / (u_{j+p+1-r} - u_j)
说明：
- 若分母
(u_{j+p+1-r} - u_j) = 0，则跳过或判定不可消去（节点重复导致奇异）
此公式来源于 B 样条节点插入的逆过程，基于控制点线性组合关系推导。
4. 计算控制点变化量（偏差向量）
对每个 j，计算实际控制点与反演估计值之间的偏差：
ΔP_j = P_j - Q_j
若 ΔP_j 接近零向量，则说明该节点可能是冗余的。
5. 计算欧几里得范数（偏差大小）
设 ΔP_j = (Δx_j, Δy_j)（二维）或 (Δx_j, Δy_j, Δz_j)（三维），则其模长为：
‖ΔP_j‖ = √( (Δx_j)^2 + (Δy_j)^2 )
（二维）
‖ΔP_j‖ = √( (Δx_j)^2 + (Δy_j)^2 + (Δz_j)^2 )
（三维）
6. 节点消去判断条件（核心准则）
给定一个几何容差 ε > 0（例如 ε = 1e-6），若对所有 j ∈ [ k - p + r , k ] 都满足：
‖ΔP_j‖ < ε
则认为节点 ū 可以被安全地消去一次。
结论：若所有相关控制点的偏差均小于 ε → 节点可消去
否则 → 节点不可消去，或只能部分降低重数
7. 多重节点处理策略
若节点 ū 的重数 r > 1，可尝试逐次消去：
- 应用上述判断，尝试消去一次（r ← r−1）
- 若通过，则更新控制点序列和节点向量
- 重复判断，直到：
- 重数降为 0，或
- 某次判断失败（偏差超限）。