当前位置：首页 > news >正文

动态规划的“降维”艺术：二维前缀和与哈希表的终极共鸣

news 2025/10/26 18:37:38

哈喽，各位，我是前端L。

在我们的DP（及其衍生技巧）探险中，“前缀和 + 哈希表”这对黄金搭档，已经在一维世界里证明了它们的惊人威力，无论是精确计数（LC 560）、判定存在性（LC 523），还是处理模运算（LC 974），都游刃有余。

今天，我们将把这套强大的组合拳，“升维”到二维矩阵的战场！我们要解决的问题是：在一个二维矩阵中，找出所有“元素和恰好等于目标值 K”的子矩阵，并计算它们的总数量。

这道题，是二维前缀和思想与一维子数组和计数技巧的完美结合，是对我们“问题转化”和“模型复用”能力的终极考验。

力扣 1074. 元素和为目标值的子矩阵数量

https://leetcode.cn/problems/number-of-submatrices-that-sum-to-target/

题目分析： 给定一个二维矩阵 matrix 和一个整数 target，返回子矩阵元素总和等于 target 的数量。

子矩阵：由四个坐标 (r1, c1) (左上角) 和 (r2, c2) (右下角) 定义的连续矩形区域。

思路一：二维前缀和的“初级应用” (O(m²n²))

我们首先想到，可以用二维前缀和 preSum[i][j] 来快速计算任意子矩阵的和（回顾 LC 304）。 sum(r1, c1, r2, c2) = preSum[r2+1][c2+1] - preSum[r1][c2+1] - preSum[r2+1][c1] + preSum[r1][c1]

有了这个 O(1) 的求和工具，我们就可以暴力枚举所有的子矩阵：

用 r1, c1 遍历所有可能的左上角。
用 r2, c2 遍历所有可能的右下角 (r2 >= r1, c2 >= c1)。
计算子矩阵和，如果等于 target，计数器加1。

这个方法需要四层循环，时间复杂度是 O(m²n²)，对于较大的矩阵来说，依然无法接受。

思路二：“降维打击” + “LC 560 模型复用” (O(m²n) or O(mn²))

O(m²n²) 的瓶颈在于同时枚举了四个坐标。我们能不能固定其中两个，把问题简化？

核心思想：枚举子矩阵的“上下边界”！

固定上下边界：我们先确定子矩阵的顶行 r1 和底行 r2 (r1 <= r2)。
“压扁”成一维：对于固定的 r1 和 r2，我们可以计算出一个一维数组 rowSums，其中 rowSums[c] 表示在第 c 列，从 r1 行到 r2 行所有元素的和。 rowSums[c] = sum(matrix[r][c] for r from r1 to r2)
“Aha!”时刻：现在，在这个一维数组 rowSums 中，寻找有多少个连续子数组 rowSums[c1...c2]，其和恰好等于 target？这不就是我们已经完美解决的 LC 560. 和为 K 的子数组 吗？！

算法流程：

（可选但推荐）预计算二维前缀和 preSum。虽然不是直接用它O(1)查子矩阵，但它可以帮助我们快速计算步骤2中的 rowSums 数组。 rowSums[c] = preSum[r2+1][c+1] - preSum[r1][c+1] - (preSum[r2+1][c] - preSum[r1][c]) （这个公式复杂了） 更优的 rowSums 计算：在 r2 的循环内部，增量计算 rowSums。当 r2 从 r1 开始递增时，rowSums 数组只需要在前一次 r2 的基础上，加上当前 matrix[r2] 这一行的元素即可。这样避免了重复计算。
初始化总计数 totalCount = 0。
外层循环：遍历所有可能的顶行 r1 (从 0 到 m-1)。
中层循环：遍历所有可能的底行 r2 (从 r1 到 m-1)。 a. 计算/更新一维 rowSums 数组: 对于当前的 r1 和 r2，计算出 rowSums[0...n-1]。 * （推荐做法）如果 r2 == r1，rowSums 就是 matrix[r1] 这一行。 * 如果 r2 > r1，rowSums 可以在上一步 r2-1 的 rowSums 基础上，累加上 matrix[r2] 这一行的值。 b. 内层问题 (调用 LC 560 逻辑)：对当前得到的 rowSums 数组，应用“前缀和 + 哈希表”的技巧，计算出其中有多少个子数组的和等于 target。将这个计数累加到 totalCount 中。
所有 (r1, r2) 遍历完毕后，totalCount 就是最终答案。

代码实现

#include <vector>
#include <unordered_map>class Solution {
public:int numSubmatrixSumTarget(vector<vector<int>>& matrix, int target) {int m = matrix.size();int n = matrix[0].size();int totalCount = 0;// 外层循环：固定上边界 r1for (int r1 = 0; r1 < m; ++r1) {// rowSums 存储 [r1...r2] 行之间，每一列的和vector<long long> rowSums(n, 0); // 中层循环：固定下边界 r2for (int r2 = r1; r2 < m; ++r2) {// 更新 rowSums 数组（增量计算）for (int c = 0; c < n; ++c) {rowSums[c] += matrix[r2][c];}// --- 内层问题：LC 560 ---// 对 rowSums 数组，应用前缀和+哈希表，计算和为 target 的子数组个数unordered_map<long long, int> preSumFreq;preSumFreq[0] = 1;long long currentSum = 0;for (long long sum : rowSums) {currentSum += sum;long long needed = currentSum - target;if (preSumFreq.count(needed)) {totalCount += preSumFreq[needed];}preSumFreq[currentSum]++;}// --- 内层问题结束 ---}}return totalCount;}
};

(注：使用 long long 防止 rowSums 或 currentSum 溢出)