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线性代数 · 伪逆矩阵 | 定义、求法、性质及应用

news 2025/10/26 9:55:20

注：本文为 “线性代数 · 伪逆矩阵” 相关合辑。
略作重排，未整理去重。
如有内容异常，请看原文。

伪逆矩阵（Pseudo-Inverse Matrix）

evilDog_xjtu 于 2014-08-15 10:40:39 发布

伪逆矩阵是逆矩阵的广义形式，主要用于解决奇异矩阵（行列式为 0 的方阵） 与非方阵的“逆矩阵不存在”问题。在 MATLAB 软件中，可通过 pinv 函数求解伪逆，其基本语法与参数定义如下：

基础语法：X = pinv(A)，其中 A 为待求伪逆的矩阵，X 为输出的伪逆矩阵；
带误差阈值的语法：X = pinv(A, tol)，其中 tol 为误差阈值，用于判定矩阵奇异值是否为 0，pinv 是“pseudo-inverse”的缩写。

伪逆矩阵的定义条件为：设矩阵 X 是 A 的伪逆，则 X 需与 A 的转置矩阵 A^T 同型，且满足以下两个矩阵等式：
$A\\XAX = X$
此时，X 也被称为 A 的广义逆矩阵。

伪逆与普通逆矩阵的关系

pinv(A) 与普通逆矩阵函数 inv(A) 存在关联但不完全等同，具体关系可概括为两点：

等式关联：若 A 为非奇异方阵（行列式≠0），则伪逆与普通逆相等，即 $pinv(A)=inv(A)\text{pinv}(A) = \text{inv}(A)$ ；
效率差异：pinv(A) 的计算过程复杂度更高，耗时远多于 inv(A)，因此仅当 A 不可逆时（奇异矩阵或非方阵），才需使用 pinv 函数。

机器视觉中的伪逆矩阵应用示例

在机器视觉领域，有限相机（finite camera）的投影矩阵 P 是伪逆的典型应用场景。该矩阵具有明确的维度与秩特征：

矩阵 P 为 $\times 4$ 矩阵，且秩为 3（满行秩）；
设投影矩阵 P 的元素形式为：
$\begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} & p_{13} & p_{14} \\ p_{21} & p_{22} & p_{23} & p_{24} \\ p_{31} & p_{32} & p_{33} & p_{34} \end{bmatrix}$

根据伪逆矩阵的维度规则（与原矩阵转置同型），P 的伪逆 $P^+$ 为 $\times 3$ 矩阵，其形式为：
$P+=[p11+p21+p31+p12+p22+p32+p13+p23+p33+p14+p24+p34+]P^+ = \begin{bmatrix} p_{11}^+ & p_{21}^+ & p_{31}^+ \\ p_{12}^+ & p_{22}^+ & p_{32}^+ \\ p_{13}^+ & p_{23}^+ & p_{33}^+ \\ p_{14}^+ & p_{24}^+ & p_{34}^+ \end{bmatrix}$

伪逆矩阵的分类求解方法

根据矩阵的秩与维度特征（列满秩、行满秩、秩亏损），伪逆的求解方法可分为三类，各类方法的适用条件与计算公式明确如下：

1. 列满秩矩阵的伪逆求解

适用条件：矩阵 A 为 $\times n$ 矩阵（ $\geq n$ ），且列向量线性无关（秩 $r = n$ ）；
计算公式：
$pinv(A)=(ATA)−1AT\text{pinv}(A) = (A^T A)^{-1} A^T$

2. 行满秩矩阵的伪逆求解

适用条件：矩阵 A 为 $\times n$ 矩阵（ $\leq n$ ），且行向量线性无关（秩 $r = m$ ）；
计算公式：
$pinv(A)=pinv(AT)T\text{pinv}(A) = \text{pinv}(A^T)^T$

3. 秩亏损矩阵的伪逆求解

适用条件：矩阵 A 的秩 $\min(m, n)$ （秩小于行数与列数的最小值）；
求解步骤：
1. 对 A 进行奇异值分解（SVD），得到 $A = U D V^T$ ；其中 $U$ 为 $\times m$ 正交矩阵， $V$ 为 $\times n$ 正交矩阵， $D$ 为 $\times n$ 对角矩阵（对角元为 A 的奇异值）；
2. 构造对角矩阵 $S$ （维度 $\times m$ ）：若 $D (i, i) = 0$ ，则 $S (i, i) = 0$ ；若 $\neq 0$ ，则 $\frac{1}{D(i,i)}$ ；
3. 代入计算伪逆：
  $pinv(A)=VSUT\text{pinv}(A) = V S U^T$

伪逆矩阵

xingozd 于 2015-11-18 08:29:30 发布

伪逆矩阵的定义

定义：令 $A$ 是一个任意 $\times n$ 矩阵，称矩阵 $G$ 是 $A$ 的广义逆矩阵（或 Moore-Penrose 伪逆），若 $G$ 满足以下四个 Moore-Penrose 条件：

$G A G = G$
$A G A = A$
$A G$ 为 Hermitian 矩阵，即 $A G)^H = A G$
$G A$ 为 Hermitian 矩阵，即 $G A)^H = G A$

伪逆矩阵的计算方法

1. 基于最小二乘的直接求解

对于列满秩矩阵 $A$ ，其伪逆矩阵 $InvA\text{InvA}$ 可通过求解最小二乘问题推导得到，表达式为：

$InvA=(ATA)−1AT\text{InvA} = (A^T A)^{-1} A^T$

% 通过最小二乘公式直接计算伪逆
InvA = inv(A' * A) * A';

2. 基于奇异值分解（SVD）的求解

奇异值分解提供了一种通用的伪逆计算方法，适用于任何矩阵。

%% 基于 SVD 分解计算伪逆
% 原理与公式：
% 1. 任意矩阵 A 可以分解为 A = U S V^H，其中 U 和 V 是酉矩阵（对于实矩阵为正交矩阵），
%    S 是对角矩阵，其对角线元素为 A 的奇异值。
% 2. 酉矩阵（或正交矩阵）的逆等于其共轭转置（或转置）。
% 3. 对角矩阵的伪逆可以通过将其非零对角元素取倒数得到。% Step 1: 求解矩阵 A 的 SVD 分解
[U, S, V] = svd(A); % A = U * S * V' (对于实矩阵 V' 即 V^H)% Step 2: 计算对角矩阵 S 的伪逆
T = S;
% 找到 S 中非零元素的索引，并对其取倒数
non_zero_indices = find(S ~= 0);
T(non_zero_indices) = 1 ./ S(non_zero_indices);% Step 3: 构造伪逆矩阵 InvA
svdInvA = V * T' * U'; % (对于实矩阵 T' 即 T^H)

3. 基于 QR 分解的求解

QR 分解也可用于计算伪逆，尤其适用于稀疏矩阵等特定类型的矩阵。

%% 基于 QR 分解计算伪逆
% 原理与公式：
% 1. 任意矩阵 A 可以分解为 A = Q R，其中 Q 是酉矩阵（对于实矩阵为正交矩阵），
%    R 是上三角矩阵。
% 2. 正交矩阵的逆等于其转置。
% 3. 上（下）三角矩阵的逆仍然是上（下）三角矩阵。计算上三角矩阵的逆可通过
%    向后替换法（或前向替换法）求解线性方程组，通常通过库函数实现。[Q, R] = qr(A);
% 对于列满秩矩阵 A，其伪逆为 A^+ = (R^H R)^-1 R^H Q^H
% 这里通过计算 (R^H R)^-1 R^H 获得 R 的伪逆，再与 Q^H 结合
InvR = inv(R' * R) * R';
qrInvA = InvR * Q';

伪逆矩阵的应用实例

1. 信号检测与干扰消除

伪逆矩阵在信号处理中常用于构建线性均衡器或滤波器，以实现信号的检测和干扰的消除。

a = floor(10 * rand(4, 3)) % 生成一个 4×3 的随机矩阵 aa =7     4     27     6     61     7     64     7     1% 计算矩阵 a 的伪逆
b = inv(a' * a) * a'b =0.1018    0.0650   -0.0959   -0.0180-0.0263   -0.0767    0.0578    0.1658-0.0296    0.1149    0.0903   -0.1719% 验证 Moore-Penrose 伪逆条件，此处验证 b·a 是否近似单位矩阵（列满秩矩阵特性）
b * aans =1.0000   -0.0000    0.0000-0.0000    1.0000   -0.0000-0.0000   -0.0000    1.0000

上述结果显示，矩阵 $\cdot a$ 近似为单位矩阵。这表明对于列满秩矩阵 $A$ ，其伪逆 $A^+$ 满足 $A^+ A = I$ （其中 $I$ 为单位矩阵），即当 $i = j$ 时，结果矩阵元素 $x_{ij} = 1$ ；当 $\neq j$ 时， $xij≈0x_{ij} \approx 0$ ，与单位矩阵定义一致。

矩阵的逆、伪逆

csdn_1HAO 于 2018-07-23 14:10:09 发布

1. 矩阵的逆

定义
设 $A$ 是数域上的一个 $n$ 阶方阵，若在相同数域上存在另一个 $n$ 阶矩阵 $B$ ，使得 $AB = BA = I_n$ ，则称 $B$ 是 $A$ 的逆矩阵，而 $A$ 则被称为可逆矩阵。
可逆条件
$A$ 是可逆矩阵的充分必要条件是， $A$ 为非奇异矩阵（当 $∣ A ∣ = 0$ 时， $A$ 称为奇异矩阵）。
性质
- 矩阵 $A$ 可逆的充要条件是 $A$ 的行列式不等于 $0$ 。
- 可逆矩阵一定是方阵。
- 若矩阵 $A$ 可逆，则 $A$ 的逆矩阵是唯一的。
- 可逆矩阵也被称为非奇异矩阵、满秩矩阵。
- 两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
- 可逆矩阵的转置矩阵也可逆。
- 矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
求逆方法
- 伴随矩阵法
  如果矩阵 $A$ 可逆，则 $A−1=A∗∣A∣A^{-1} = \frac{A^*}{|A|}$ ，其中 $A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵。
  注意： $A^*$ 中元素的排列特点是第 $k$ 列元素是 $A$ 的第 $k$ 行元素的代数余子式，即 $A^*$ 为求解 $A$ 的余子矩阵的转置矩阵。
- 初等变换法
  若矩阵 $A$ 和 $B$ 互逆，即 $AB = BA = I_n$ 。由 $AB = BA = I_n$ 及矩阵乘法的定义可知，矩阵 $A$ 和 $B$ 均为方阵；且由 $AB = I_n$ 及行列式的乘积性质（两个矩阵乘积的行列式等于这两个矩阵行列式的乘积）可知，这两个矩阵的行列式都不为 $0$ ，即二者均为满秩矩阵（或称非奇异矩阵），即 $A$ 和 $B$ 均是方阵，且 $rank(A)=rank(B)=n\text{rank}(A) = \text{rank}(B) = n$ 。换句话说，这两个矩阵可以只经由初等行变换，或者只经由初等列变换，变为单位矩阵。
  由于对矩阵 $A$ 施以初等行变换（初等列变换）就相当于在 $A$ 的左边（右边）乘以相应的初等矩阵，因此可以同时对 $A$ 和 $I_n$ 施以相同的初等行变换（初等列变换）。这样，当矩阵 $A$ 被变为 $I_n$ 时， $I_n$ 就被变为 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$ 。

2. 矩阵的伪逆和左右逆

伪逆矩阵
伪逆矩阵是逆矩阵的广义形式。对于奇异矩阵或非方阵的矩阵，其逆矩阵不存在，但在MATLAB中可通过函数 pinv(A) 求其伪逆矩阵，基本语法为 $\text{pinv}(A)$ 且 $pinv(A)A=AX=I\text{pinv}(A)A = AX = I$ （其中 $X$ 为误差，pinv 为pseudo-inverse的缩写）， $max⁡(size(A))⋅norm(A)⋅eps\max(\text{size}(A)) \cdot \text{norm}(A) \cdot \text{eps}$ 为函数返回值与 $A$ 的转置矩阵 $A^T$ 同型的矩阵。若 $A$ 是 $\times n$ 矩阵且 $A X = X A = X$ 时，称矩阵 $X$ 为矩阵 $A$ 的逆，也称为广义逆矩阵。pinv(A) 具有 inv(A) 的部分特性，但与 inv(A) 不完全相同。若 $A$ 为非奇异方阵，则 $pinv(A)=inv(A)\text{pinv}(A) = \text{inv}(A)$ ，但前者会耗费大量的计算时间，相较而言，inv(A) 花费的时间更少。
伪逆矩阵求法
设 $A$ 为 $\times n$ 矩阵， $r$ 为 $A$ 的秩：
- 若矩阵 $A$ 是方阵，且 $\neq 0$ ，则存在 $AA^{-1} = I$ ；
- 若 $A$ 不是方阵，或者 $∣ A ∣ = 0$ ，则只能求 $A$ 的伪逆，其伪逆通过奇异值分解（SVD）计算得出：
  pinv(A) 表示 $A$ 的伪逆：
  - 若 $A$ 列满秩（列向量线性无关）， $r = n$ ，则方程组 $A x = b$ 为超定方程组，存在 $0$ 个或 $1$ 个解，此时 $pinv(A)=(ATA)−1AT\text{pinv}(A) = (A^T A)^{-1} A^T$ ，因为 $A^T A)^{-1} A^T A = I$ ，因此也称为左逆；
  - 若 $A$ 行满秩（行向量线性无关），则方程组 $A x = b$ 为欠定方程组，存在 $0$ 个或无穷个解，此时 $pinv(A)=AT(AAT)−1\text{pinv}(A) = A^T (A A^T)^{-1}$ ，因为 $A A^T (A A^T)^{-1} = I$ ，因此也称为右逆；
  - 若 $A$ 秩亏损，则先对其做奇异值分解 $A = U D V^T$ （其中 $U, V$ 是正交阵， $D$ 是对角阵）；然后对对角阵 $D$ 构造矩阵 $S$ ，如果 $D (i, i) = 0$ ，则 $S (i, i) = 0$ ；如果 $\neq 0$ ，则 $S (i, i) = 1/ D (i, i)$ ；于是 $pinv(A)=VSUT\text{pinv}(A) = V S U^T$ 。
二、矩阵的左逆与最小二乘
关于最小二乘可参考：最小二乘的几何意义及投影矩阵（http://www.cnblogs.com/AndyJee/p/5053354.html）
事实上，最小二乘是一个超定方程组的求解问题，根据上述分析，超定方程组的求解方法之一是通过求伪逆的形式，具体来说是求左逆，即
$x^=(ATA)−1ATb\hat{x} = (A^T A)^{-1} A^T b$
最小二乘也可从几何的角度来考虑，即下文要阐述的投影矩阵。
三、左右逆与投影矩阵
在左逆中， $A^T A)^{-1} A^T A = I$ ，若将左逆左乘 $A$ 后再右乘 $A$ 得不到单位矩阵，那么 $A (A^T A)^{-1} A^T$ 是什么？它是在 $A$ 矩阵列空间（ $A$ 矩阵各列张成的子空间）上投影的投影矩阵，它会尽量逼近单位矩阵，一个投影矩阵很难成为单位矩阵，但不可能做到。
在右逆中， $A A^T (A A^T)^{-1} = I$ ，若将右逆右乘 $A$ 后再左乘 $A$ 不是单位矩阵，那么 $A A^T)^{-1} A A^T$ 是什么？它是在 $A$ 矩阵行空间（ $A$ 矩阵各行张成的子空间）上投影的投影矩阵。

伪逆矩阵 (Generalized Inverse Matrix)

Crystalaji 2017.12.23 14:12:56 最后修订于：2017.12.23 19:10:52

逆矩阵与伪逆矩阵的概念

1. 矩阵逆与伪逆的定义

(1) 矩阵的逆

对于一个方阵 $A$ ，如果存在一个矩阵 $B$ ，使得 $A B = B A = I$ ，其中 $I$ 为与 $A$ 维度相同的单位矩阵，则称 $A$ 为可逆矩阵（或非奇异矩阵），并称 $B$ 是 $A$ 的逆矩阵，记作 $B = A^{-1}$ 。

(2) 矩阵的伪逆

非方阵或不可逆的方阵不具有逆矩阵，但它们可能具有伪逆矩阵。

若存在矩阵 $A^L$ 使得 $A^L A = I$ 成立，但不一定满足 $A A^L = I$ ，则称 $A^L$ 为矩阵 $A$ 的左逆矩阵。类似地，若存在矩阵 $A^R$ 使得 $A A^R = I$ 成立，但不一定满足 $A^R A = I$ ，则称 $A^R$ 为矩阵 $A$ 的右逆矩阵。

当且仅当 $\ge n$ 且矩阵 $Am×nA_{m \times n}$ 具有列满秩时，其左逆矩阵为 $A^L = (A^T A)^{-1} A^T$ 。

当且仅当 $\ge m$ 且矩阵 $Am×nA_{m \times n}$ 具有行满秩时，其右逆矩阵为 $A^R = A^T (A A^T)^{-1}$ 。

对于任意矩阵 $Am×nA_{m \times n}$ ，无论其是否为方阵、是否满秩，都可以通过奇异值分解 (Singular Value Decomposition, SVD) 来定义其伪逆矩阵。若 $\Sigma V^T$ ，则 $A$ 的伪逆矩阵 $A^+$ 定义为 $A+=VΣ+UTA^+ = V \Sigma^+ U^T$ 。其中 $Σ+\Sigma^+$ 是由 $Σ\Sigma$ 经过转置、非零奇异值的倒数以及补零操作得到的。

广义逆矩阵的定义

在这里插入图片描述

伪逆矩阵的实际意义

伪逆矩阵的意义与线性系统中的应用

1. 线性方程组的解的基本情况

讨论伪逆矩阵需以线性方程组的解为切入点。对于 $n$ 元线性方程组 $A X = B$ （其中系数矩阵 $A$ 为 $\times n$ 矩阵，常数项向量 $B$ 为 $\times 1$ 向量），其解存在三种典型情况：唯一解、无穷多解、无解。
由于唯一解的求解无需依赖伪逆矩阵的特殊性质，因此本节重点分析后两种情况中伪逆矩阵的作用。

2. 线性方程组有无穷多解时的伪逆应用

当线性方程组存在无穷多解时，需满足秩的条件： $\ B]) < n$ （其中 $R(⋅)R(\cdot)$ 表示矩阵的秩， $\ B]$ 为方程组的增广矩阵）。该条件通常对应 $A$ 为行满秩矩阵，且方程个数（ $m$ ）小于变量个数（ $n$ ）的场景。
尽管此时解的数量无穷，但在所有满足 $A X = B$ 的解中，存在一个唯一的“最小范数解”——即距离坐标原点欧几里得距离最近的解，记为 $X^0$ 。

最小范数解的构造： $X0=A†BX^0 = A^{\dagger}B$ ，其中 $A†A^{\dagger}$ 表示矩阵 $A$ 的伪逆，且此时 $A†A^{\dagger}$ 等价于 $A$ 的右逆矩阵。
性质：可证明 $X0=A†BX^0 = A^{\dagger}B$ 是所有满足 $A X = B$ 的解中，欧几里得范数 $∥X∥\|X\|$ 最小的解。

3. 线性方程组无解时的伪逆应用

当线性方程组无解时，秩的条件为 $\neq R([A \ B])$ 。该情况的本质是：常数项向量 $B$ 不在系数矩阵 $A$ 的列空间中，因此不存在能严格满足 $A X = B$ 的解。
此时需寻求“近似解”——即找到一个向量 $X^0$ ，使得残差的欧几里得范数 $∥AX−B∥\|AX - B\|$ 最小化（该解称为最小二乘解）。此时 $AX^0 = B'$ ，其中 $B^{'}$ 是 $A$ 的列空间中与 $B$ 欧几里得距离最近的向量。

最小二乘解的构造： $X0=A†BX^0 = A^{\dagger}B$ ，其中 $A†A^{\dagger}$ 仍为 $A$ 的伪逆，且此时 $A†A^{\dagger}$ 等价于 $A$ 的左逆矩阵。
性质：该解满足 $∥AX−B∥≥∥AX0−B∥\|AX - B\| \geq \|AX^0 - B\|$ （对所有 $X$ 成立），但需注意 $X^0$ 并非传统意义上的解，因为它不直接满足 $A X = B$ 。

4. 伪逆矩阵的价值总结

从上述两种场景可提炼伪逆矩阵的意义：

欧几里得范数的作用：在伪逆求解过程中，欧几里得范数同时承担“度量残差误差”（无解场景）和“限制解的长度”（无穷多解场景）的角色。
最优解特性：伪逆矩阵 $A†A^{\dagger}$ 所构造的解 $X0=A†BX^0 = A^{\dagger}B$ ，是在特定几何约束（最小范数或最小二乘）下的唯一最优解。
实际应用：该特性使伪逆矩阵在工程与科学领域广泛应用，例如在最小能量系统设计中，可通过伪逆矩阵直接求得问题的最优方案。

伪逆矩阵与奇异值分解 (SVD) 的关系

非方阵不具有逆矩阵，但它们具有广义逆矩阵或伪逆矩阵。

对于一个矩阵 $A$ ，如果存在一个矩阵 $B$ 满足以下 Moore-Penrose 条件：

$(1)ABA=A(2)BAB=B(3)(AB)T=AB(4)(BA)T=BA\begin{align*} (1) & \ ABA = A \\ (2) & \ BAB = B \\ (3) & \ (AB)^T = AB \\ (4) & \ (BA)^T = BA \end{align*}$

则称 $B$ 为 $A$ 的广义逆矩阵（或 Moore-Penrose 伪逆）。

满足上述四个条件的广义逆矩阵是唯一的。假设矩阵 $A$ 具有奇异值分解 (SVD) 形式：

$\begin{pmatrix} \Sigma & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} V^T,$

其中 $U$ 和 $V$ 是正交矩阵， $Σ\Sigma$ 是由 $A$ 的非零奇异值构成的对角矩阵。则 $A$ 的广义逆矩阵 $A^+$ 可以表示为：

$A+=V(Σ−1000)UTA^+ = V \begin{pmatrix} \Sigma^{-1} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} U^T$

via:

伪逆矩阵（pseudo-inverse）_pseudo-inversion of matrix-CSDN博客
https://blog.csdn.net/u014260892/article/details/38581175
伪逆矩阵-CSDN博客
https://blog.csdn.net/xingozd/article/details/49901967
矩阵逆与伪逆详解-CSDN博客
https://blog.csdn.net/caomin1hao/article/details/81131382
伪逆矩阵（广义逆矩阵） - 简书
https://www.jianshu.com/p/609fa0cce409
(oﾟvﾟ)ノ Hi - 线性代数 | 伪逆矩阵
https://www.cnblogs.com/isumi/articles/18893136
线性代数之伪逆矩阵(pseudoinverse matrix)
https://wyman1024.github.io/linear-algebra-16/

查看全文

http://www.dtcms.com/a/528893.html