LCL滤波器传递函数及波特图绘制
一、LCL 滤波器电路模型
推导前需明确 LCL 的电路结构和变量定义，本文以并网逆变器场景为背景，考虑实际电网的感性阻抗（忽略电阻，因高频下感抗主导）。
1.1 电路模型与变量定义
LCL 滤波器核心由 “逆变器侧电感\(L_1\)、滤波电容C、网侧电感\(L_2\)” 组成，电网等效为 “理想电压源\(v_g\)串联电网电感\(L_g\)”（\(L_g\)反映电网强度，强电网\(L_g≈0\)）。
关键变量定义：
- 输入：逆变器桥臂输出电压\(v_{inv}(t)\)（控制侧输出，决定滤波前的电压特性）；
- 输出：并网电流\(i_2(t)\)（流入电网的电流，核心控制目标，需满足谐波标准）；
- 中间变量：\(L_1\)电流\(i_1(t)\)、滤波电容电压\(v_c(t)\)；
- 电网参数：电网电压\(v_g(t)\)、电网电感\(L_g\)（弱电网\(L_g\)增大，强电网\(L_g≈0\)）。
假设条件：
- 所有元件为理想器件（无寄生电阻、电容）；
- 零初始条件（拉普拉斯变换时，初始电流 / 电压为 0）；
- 电网电阻\(<1Ω\)，高频下影响可忽略，暂不纳入模型。
二、工程常用简化场景的传递函数
实际应用中，常遇到 “理想电网”“带无源阻尼” 等场景。
场景 1：理想电网（忽略电网电感\(L_g=0\)）
强电网（如靠近变电站、线路短）的电网电感\(L_g≈0\)，此时为最常用的基础传递函数：
\(\boxed{G_{v-i}(s) = \frac{1}{s^3 L_1 L_2 C + s (L_1 + L_2)} }\)
此式是 LCL 参数设计、谐振频率计算的核心依据，需重点记忆。
场景 2：含无源阻尼（电容串联电阻\(R_d\)）
LCL 滤波器存在谐振尖峰，工程中常用 “电容串联电阻\(R_d\)” 抑制谐振（损耗小、易实现）。此时电容支路阻抗变为\(\frac{1}{sC} + R_d\)，修正为：
\(v_c(t) = (L_2 + L_g) \frac{di_2(t)}{dt} + R_d \cdot C \frac{dv_c(t)}{dt} + v_g(t)\)
重新推导后，传递函数分母增加阻尼项，最终为：
\(\boxed{G_{v-i}(s) = \frac{1}{s^3 L_1 C (L_2 + L_g) + s^2 L_1 C R_d + s (L_1 + L_2 + L_g) + R_d} }\)
（阻尼电阻\(R_d\)越大，谐振抑制越强，但高频损耗也越大，通常取\(1~10Ω\)，需结合开关频率优化）
三、传递函数的核心特性分析（从公式看本质）
通过LCL基础传递函数，可分析 LCL 滤波器的频率特性（令\(s=jω\)，\(ω=2πf\)，f为频率）。
1. 谐振频率\(f_r\)
谐振频率是 LCL 的 “危险点”—— 幅频特性在此处出现尖峰，易导致系统不稳定。令分母为零（幅频特性无穷大的理论点），解得：
\(\boxed{\omega_r = \sqrt{\frac{L_1 + L_2}{L_1 L_2 C}}}\)
\(\boxed{f_r = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{L_1 + L_2}{L_1 L_2 C}}}\)
设计原则：
\\(f_r\)需避开电网谐波（如 50Hz 的 3/5/7 次）和开关频率（如 40kHz），通常取\(2f_0 < f_r < f_s/2\)（\(f_0=50Hz\)，\(f_s\)为开关频率）。
2. 幅频特性斜率（滤波能力体现）
对LCL基础传递函数取幅值
\(|G_{v-i}(jω)| = \frac{1}{\sqrt{[ω^3 L_1 L_2 C]^2 + [ω (L_1 + L_2)]^2}}\)，分析不同频段的斜率：
| 频段 | 频率关系 | 特性分析（近似） | 幅频斜率 | 物理意义 |
|---|---|---|---|---|
| 低频段 | \(f \ll f_r\) | 电容开路，LCL≈\(L_1+L_2\)的 L 滤波器 | -20dB/dec | 抑制低频谐波能力弱 |
| 谐振段 | \(f ≈ f_r\) | 分母两项抵消，幅值骤增 | 尖峰 | 需阻尼抑制，否则系统不稳定 |
| 高频段 | \(f \gg f_r\) | 电容短路，LCL≈\(s^3 L_1 L_2 C\) | -60dB/dec | 抑制高频谐波能力强（优于 L 滤波器） |
四、LCL滤波器波特图MATLAB绘制
% 理想电网下LCL滤波器传递函数波特图绘制
% 传递函数：G(s) = 1 / [s^3*L1*L2*C + s*(L1+L2)]
% 参数单位：H（亨利）、F（法拉）%% 1. 定义LCL滤波器参数（基于125kW储能变流器设计）
L1 = 62.5e-6; % 逆变器侧总电感（两模块并联，125μH×2 → 等效62.5μH）
L2 = 19e-6; % 网侧总电感（两模块并联，38μH×2 → 等效19μH）
C = 25e-6; % 滤波电容（每相25μF，三相星接）%% 2. 构建传递函数分子和分母多项式（s域）
% 分子：num = 1
num = 1;% 分母：den = s^3*L1*L2*C + s*(L1+L2)
den = [L1*L2*C, 0, (L1 + L2), 0]; % 多项式系数：[s³项, s²项, s项, 常数项]% 创建传递函数模型
sys = tf(num, den);%% 3. 计算谐振频率（理论值）
f_r = 1/(2*pi) * sqrt( (L1 + L2)/(L1*L2*C) ); % 谐振频率公式
f_r_kHz = f_r / 1000; % 转换为kHz%% 4. 绘制波特图
figure('Name','LCL滤波器波特图（理想电网）','Position',[100,100,800,600]);
bode(sys);
grid on; % 显示网格
title(['LCL滤波器波特图（理想电网），谐振频率：', num2str(f_r_kHz, '%.2f'), 'kHz']);
xlabel('频率（Hz）');
ylabel('增益（dB）/相位（deg）');% 在谐振频率处添加标记
hold on;
plot(f_r, -100, 'ro', 'MarkerSize', 8); % 谐振点标记（y轴取-100避免遮挡）
%text(f_r, -135, [' 谐振频率：', num2str(f_r_kHz, '%.2f'), 'kHz'], 'Color', 'r');运行上述代码后绘制出的波特图如下，可以根据自己设计的参数进行调整后绘制。
