复数等式：为何对所有整数都成立？

一道看似简单的复数证明题，隐藏着令人惊叹的数学对称美！

🎯 问题描述

题目：令 $x,y\in (0,\frac{\pi }{2})$，证明：如果等式
$$(\cos x+i\sin y{)}^n=\cos nx+i\sin ny$$
对两个连续的整数 $n$ 成立，那么它对所有整数 $n$ 都成立．

⚠️ 注意：这像不像棣莫弗定理的“变种”？但注意——实部虚部角度不同（$x\ne y$），条件却只需两个连续整数成立！

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💡 破题思路

1️⃣ 观察与联想

题目等式 $(\cos x+i\sin y{)}^n=\cos nx+i\sin ny$ 神似棣莫弗定理 $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$，但有两个关键差异：

• 复数结构：实部 $\cos x$ 和虚部 $i\sin y$ 的角度不同（$x\ne y$）．
• 成立条件：仅需对两个连续整数 $n$ 成立，就能推广到所有整数．

💡 妙招：遇到“连续整数成立→所有整数成立”的问题，通常考虑数学归纳法或递推关系．但本题更适合用反证法结合复数性质破解！

2️⃣ 思考方向

• 假设：等式对 $n$ 和 $n+1$ 成立，能否推出矛盾？
• 复数模：等式两边取模，能否约束 $x,y$ 关系？
• 三角函数性质：利用 $\sin x$ 在 $(0,\frac{\pi }{2})$ 的单调性．

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📝 关键推导

步骤1：假设等式对连续整数 $n$ 和 $n+1$ 成立

设：
$$\begin{array}{rl}(\cos x+i\sin y{)}^n& =\cos nx+i\sin ny\\ (\cos x+i\sin y{)}^{n+1}& =\cos (n+1)x+i\sin (n+1)y\end{array}$$

步骤2：构造递推关系

将式 (1) 乘以 $(\cos x+i\sin y)$ 再减去式 (2)：
$$\begin{array}{rl}& (\cos x+i\sin y)(\cos nx+i\sin ny)\\ -& [\cos (n+1)x+i\sin (n+1)y]=0．\end{array}$$

展开后比较虚部（或直接运算），得关键等式：
$$\sin x\sin nx=\sin y\sin ny．$$

⚠️ 注意：这一步通过复数运算消去了虚数单位 $i$，得到纯三角函数的等式！

步骤3：分析三角函数的约束

假设 $x<y$．由于 $x,y\in (0,\frac{\pi }{2})$，有 $\sin x<\sin y$．
为满足 $\sin x\sin nx=\sin y\sin ny$，必须有：
$$|\sin nx|\ge |\sin ny|．$$

步骤4：取模导出矛盾

对式 (1) 两边取模：
$$|\cos x+i\sin y{|}^n=|\cos nx+i\sin ny|．$$
即：
$$({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}y{)}^{\frac{n}{2}}=\sqrt{{\cos }^{2}nx+{\sin }^{2}ny}．$$

由于 ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$，且 ${\sin }^{2}y>{\sin }^{2}x$（因 $y>x$），可得：
$$\begin{array}{rl}1& =({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x{)}^n\\ & \le ({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}y{)}^n\\ & ={\cos }^{2}nx+{\sin }^{2}ny\\ & \le {\cos }^{2}nx+{\sin }^{2}nx=1．\end{array}$$

💥 矛盾出现：所有不等式必须取等：

• ${\sin }^{2}y={\sin }^{2}x$ ⇒ $x=y$（因 $x,y\in (0,\frac{\pi }{2})$）．
• ${\sin }^{2}ny={\sin }^{2}nx$ ⇒ $|\sin ny|=|\sin nx|$．

同理，若假设 $x>y$ 也会推出矛盾．
故 $x=y$，此时原等式退化为标准的棣莫弗定理，自然对所有 $n$ 成立！

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🎓 总结归纳

解题策略

• 破题点：利用复数运算和三角函数性质，挖掘隐藏条件（$x=y$）．
• 关键技巧：
  • 对连续整数条件，构造递推关系．
  • 取模分析复数等式的约束．
  • 反证法结合三角函数的单调性．