数据结构（7）
目录
一、树的遍历
1、先序遍历
（1）定义
（2）核心逻辑
（3）示例说明
（4）特点
2、后序遍历
（1）定义
（2）核心逻辑
（3）示例说明
（4）特点
二、森林的遍历
1、先序遍历
（1）定义
（2）核心步骤（递归定义）
（3）示例说明
（4）特点
2、中序遍历
（1）定义
（2）核心步骤（递归定义）
（3）示例说明
（4）特点
三、树的表示形式
1、嵌套集合
2、广义表的形式表示
3、凹入表示法
4、左孩子——右兄弟表示法
一、树的遍历
1、先序遍历
介绍：访问根，依次先序访问根结点的每棵子树
（1）定义
先序遍历是树的一种深度优先遍历方式，遵循 “先访问根节点，再依次对根节点的每棵子树进行先序遍历” 的规则。
（2）核心逻辑
- 第一步：访问当前根节点（如输出节点值、记录节点信息等）。
- 第二步：按子树的顺序（通常从左到右），依次对每棵子树执行先序遍历（递归应用上述规则）。
（3）示例说明
假设有如下树结构（根节点 A 有 3 棵子树，子树根分别为 B、C、D；B 有 1 棵子树 E）：
A/ | \B C D/E
遍历过程：
- 访问根节点 A → 结果：[A]。
- 对 A 的第一棵子树（根为 B）执行先序遍历：
- 访问 B → 结果：[A, B]。
- 对 B 的子树（根为 E）执行先序遍历：
- 访问 E → 结果：[A, B, E]。
- E 无其他子树，返回。
- 对 A 的第二棵子树（根为 C）执行先序遍历：
- 访问 C → 结果：[A, B, E, C]。
- C 无其他子树，返回。
- 对 A 的第三棵子树（根为 D）执行先序遍历：
- 访问 D → 结果：[A, B, E, C, D]。
- D 无其他子树，返回。
最终先序遍历序列：A → B → E → C → D。
（4）特点
- 遍历顺序体现 “根优先”，先处理当前节点，再深入子树。
- 适用于需要 “先获取根节点信息，再处理子树” 的场景（如复制树、统计树的节点总数）。
2、后序遍历
介绍：依次访问根结点的每棵子树通过后序遍历，再访问根
（1）定义
后序遍历是树的另一种深度遍历方式，遵循 “先依次对根节点的每棵子树进行后序遍历，最后访问根节点” 的规则。
（2）核心逻辑
- 第一步：按子树的顺序（通常从左到右），依次对每棵子树执行后序遍历（递归应用上述规则）。
- 第二步：访问当前根节点（如输出节点值、记录节点信息等）。
（3）示例说明
使用与先序遍历相同的树结构：
A/ | \B C D/E
遍历过程：
- 对 A 的第一棵子树（根为 B）执行后序遍历：
- 对 B 的子树（根为 E）执行后序遍历：
- E 无其他子树，访问 E → 结果：[E]。
- 访问 B → 结果：[E, B]。
- 对 B 的子树（根为 E）执行后序遍历：
- 对 A 的第二棵子树（根为 C）执行后序遍历：
- C 无其他子树，访问 C → 结果：[E, B, C]。
- 对 A 的第三棵子树（根为 D）执行后序遍历：
- D 无其他子树，访问 D → 结果：[E, B, C, D]。
- 访问根节点 A → 结果：[E, B, C, D, A]。
最终后序遍历序列：E → B → C → D → A。
（4）特点
- 遍历顺序体现 “子树优先”，先深入所有子树并处理完毕，再返回处理当前节点。
- 适用于需要 “先处理完所有子树，再基于子树结果处理根节点” 的场景（如计算树的深度、释放树的内存）。
树没有中序遍历，因子树不分左右
问：若采用“先转换，后遍历”方式，结果如何？
（1）树的先序遍历二法相同
（2）树的后序遍历相当于对应二叉树的中序遍历
（3）树无后序遍历
二、森林的遍历
1、先序遍历
若森林为空，返回；访问第一棵树的根节点；先序遍历第一棵树中根节点的子树森林；先序遍历除去第一棵树之后还剩余的树构成的森林
（1）定义
森林的先序遍历遵循 “先访问第一棵树的根，再深入处理第一棵树的子树，最后遍历剩余森林” 的规则，本质是对森林中每棵树进行 “先根” 访问，并保持树的顺序。
（2）核心步骤（递归定义）
- 若森林为空，直接返回（遍历结束）。
- 访问当前森林中第一棵树的根节点（优先处理根）。
- 先序遍历第一棵树的根节点的子树森林（将第一棵树的所有子树视为一个新森林，递归先序遍历）。
- 先序遍历除去第一棵树后剩余的森林（处理完第一棵树后，按同样规则遍历剩下的树）。
（3）示例说明
假设有如下森林（包含 2 棵树）：
- 树 1：根 A，子树森林为 {B, C}（B 是 A 的第一个子树，C 是 B 的兄弟子树）；B 有子树 D。
- 树 2：根 E，子树森林为 {F}（F 是 E 的子树）。
森林结构示意：
树1： A/ \B C/D树2： E/F
遍历过程：
- 访问第一棵树的根 A → 结果：[A]。
- 先序遍历 A 的子树森林（{B, C}）：
- 访问子树森林中第一棵树的根 B → 结果：[A, B]。
- 先序遍历 B 的子树森林（{D}）：
- 访问 D → 结果：[A, B, D]。
- D 无子树，返回。
- 先序遍历除去 B 后剩余的子树森林（{C}）：
- 访问 C → 结果：[A, B, D, C]。
- C 无子树，返回。
- 先序遍历除去第一棵树后剩余的森林（{树 2}）：
- 访问树 2 的根 E → 结果：[A, B, D, C, E]。
- 先序遍历 E 的子树森林（{F}）：
- 访问 F → 结果：[A, B, D, C, E, F]。
- F 无子树，返回。
最终先序遍历序列：A → B → D → C → E → F。
（4）特点
- 遍历顺序体现 “根优先、树顺序优先”：先访问每棵树的根，再处理其内部子树，且严格按森林中树的先后顺序遍历。
- 与森林转化为二叉树后的先序遍历结果完全一致（因二叉树的先序遍历也是 “根→左子树→右子树”，对应 “根→子树森林→剩余森林”）。
2、中序遍历
若森林为空，返回；中序遍历森林中第一棵树的根节点的子树森林；访问第一棵树的根节点；中序遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林
（1）定义
森林的中序遍历遵循 “先处理第一棵树的子树，再访问第一棵树的根，最后遍历剩余森林” 的规则，本质是对森林中每棵树进行 “先子树后根” 的访问，并保持树的顺序。
（2）核心步骤（递归定义）
- 若森林为空，直接返回（遍历结束）。
- 中序遍历当前森林中第一棵树的根节点的子树森林（先深入处理第一棵树的所有子树）。
- 访问第一棵树的根节点（子树处理完毕后再访问根）。
- 中序遍历除去第一棵树后剩余的森林（处理完第一棵树后，按同样规则遍历剩下的树）。
（3）示例说明
使用与先序遍历相同的森林结构：
遍历过程：
- 中序遍历第一棵树（A）的子树森林（{B, C}）：
- 中序遍历 B 的子树森林（{D}）：
- D 无子树，直接返回（无访问）。
- 访问 B → 结果：[B]。
- 中序遍历除去 B 后剩余的子树森林（{C}）：
- C 无子树，直接返回。
- 访问 C → 结果：[B, C]。
- 中序遍历 B 的子树森林（{D}）：
- 访问第一棵树的根 A → 结果：[B, C, A]。
- 中序遍历除去第一棵树后剩余的森林（{树 2}）：
- 中序遍历 E 的子树森林（{F}）：
- F 无子树，直接返回。
- 访问 E → 结果：[B, C, A, E]。
- （F 的子树森林为空，无需额外操作）。
- 中序遍历 E 的子树森林（{F}）：
最终中序遍历序列：B → C → A → F → E？？？ （修正：步骤 3 中，E 的子树森林是 {F}，中序遍历 F 的子树森林（空）→ 访问 F → 再访问 E，因此正确过程为：3. 中序遍历树 2 的子树森林（{F}）：
- F 无子树，返回 → 访问 F → 结果：[B, C, A, F]。
- 访问 E → 结果：[B, C, A, F, E]。
最终正确中序序列：B → C → A → F → E。
（4）特点
- 遍历顺序体现 “子树优先、树顺序优先”：先处理每棵树的所有子树，再访问其根，且严格按森林中树的先后顺序遍历。
- 与森林转化为二叉树后的中序遍历结果完全一致（因二叉树的中序遍历是 “左子树→根→右子树”，对应 “子树森林→根→剩余森林”）。
问：若采用“先转换，后遍历”方式，结果是否相同？
森林的先序和中序遍历在两种方式下的结果相同，但森林的后序遍历则不一定
三、树的表示形式
1、嵌套集合
- 用集合的嵌套关系模拟树的层次：根节点对应最外层集合，子节点对应内层集合，且任意两个集合要么完全分离，要么一个包含另一个。
- 示例：树 A 包含 B 和 C，B 包含 D，则表示为 {A, {B, {D}}, {C}} 。
- 特点：直观体现 “父子包含” 关系，适合抽象描述，但不便于计算机存储和操作。
2、广义表的形式表示
- 用广义表（可嵌套的列表）表示：根节点作为表名，后跟由子树组成的广义表。
- 示例：同上树表示为 A (B (D), C) ，其中 A 是根，B (D) 和 C 是子树（B 的子树为 D）。
- 特点：结构紧凑，既体现根与子树的关系，又保留子树的顺序，便于人工读写和转换为代码结构（如链表）。
3、凹入表示法
- 类似书籍目录的缩进形式：根节点顶格，子节点缩进，层级越深缩进越多，同一父节点的子节点缩进量相同。
- 示例：
ABDC - 特点：视觉直观，适合手动绘制和阅读，但不便于计算机处理（难以解析层级关系）。
4、左孩子——右兄弟表示法
- 用二叉树结构存储：每个节点包含 “左指针”（指向第一个子节点）和 “右指针”（指向相邻兄弟节点）。
- 示例：树 A 的左指针指向 B（第一个子节点），B 的右指针指向 C（兄弟节点），B 的左指针指向 D（B 的子节点）。
- 特点：将多叉树转为二叉树，统一数据结构，可直接复用二叉树的算法（如遍历），是计算机中最常用的树存储方式。