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子序列（不连续）

例题1: 最长递增子序列

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：

• 输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
• 输出：4
• 解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：

• 输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
• 输出：4

示例 3：

• 输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
• 输出：1

提示：

• 1 <= nums.length <= 2500
• -10^4 <= nums[i] <= 10^4

 

在子序列（连续）和子序列（非连续）的问题中， dp[i] 数组的含义一般都是：以 nums[i] 为结尾的最长xxx，目的是通过比较 2 个子序列的 nums[i]/nums[j] 结尾是否递增。

动规5部曲

1、dp数组含义

dp[i]: 以 nums[i] 为结尾的递增子序列最长

2、递推公式

位置 i 的最长升序子序列等于 j 从 0 到 i-1 各个位置的最长升序子序列 +1 的最大值。

所以：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);

注意这里不是要 dp[i] 与 dp[j] + 1 进行比较，而是我们要取 dp[j] + 1 的最大值

3、初始化

由 dp 数组的含义，每个以 nums[i] 为结尾的递增子序列初始长度都为1

4、遍历顺序

从左往右

5、打印dp数组观察

code

class Solution {
public:int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {vector<int> dp(nums.size());//dp[i] : 以nums[i]为结尾的最长递增子序列//dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)//初始化，每个dp[i]都为1for(int i = 0; i < nums.size(); i++){dp[i] = 1;}for(int i = 1; i < nums.size(); i++){for(int j = 0; j < i ; j++){if(nums[j] < nums[i])dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1);}}int maxlen = 1;for(int i = 0; i<dp.size();i++){maxlen = max(maxlen,dp[i]);}return maxlen;}
};

例题2：最长连续递增序列

给定一个未经排序的整数数组，找到最长且 连续递增的子序列，并返回该序列的长度。

连续递增的子序列 可以由两个下标 l 和 r（l < r）确定，如果对于每个 l <= i < r，都有 nums[i] < nums[i + 1] ，那么子序列 [nums[l], nums[l + 1], ..., nums[r - 1], nums[r]] 就是连续递增子序列。

示例 1：

• 输入：nums = [1,3,5,4,7]
• 输出：3
• 解释：最长连续递增序列是 [1,3,5], 长度为3。尽管 [1,3,5,7] 也是升序的子序列, 但它不是连续的，因为 5 和 7 在原数组里被 4 隔开。

示例 2：

• 输入：nums = [2,2,2,2,2]
• 输出：1
• 解释：最长连续递增序列是 [2], 长度为1。

提示：

• 0 <= nums.length <= 10^4
• -10^9 <= nums[i] <= 10^9

 

 这一题跟上一题很类似，判断条件里加一个 j == i-1 即可，不过也可以进行简化，因为此题用不到 j，判断条件可以简化为：

for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {if (nums[i] > nums[i - 1]) { // 连续记录dp[i] = dp[i - 1] + 1;}
}

例题3：最长重复子数组

给两个整数数组 A 和 B ，返回两个数组中公共的、长度最长的子数组的长度。

示例：

输入：

• A: [1,2,3,2,1]
• B: [3,2,1,4,7]
• 输出：3
• 解释：长度最长的公共子数组是 [3, 2, 1] 。

提示：

• 1 <= len(A), len(B) <= 1000
• 0 <= A[i], B[i] < 100

 

这道题有 2 个整数数组，所以我们使用二维数组来表示 2 个数组的公共最长子数组的长度。

动规5部曲

1、dp数组的含义

参考前两题，dp[i][j] 表示数组 A 中以 A[i-1] 为结尾和在数组 B 中以 B[j-1] 为结尾的最长子数组。

2、递推式

当 A[i-1] == B[j-1] 时，说明以 A[i-1] 和 B[j-1] 结尾的公共最长字数组长度又 +1

dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1

3、初始化

全初始化为 0 即可

4、打印dp数组

code

class Solution {
public:int findLength(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {//初始化vector<vector<int>> dp(nums1.size()+1, vector<int>(nums2.size()+1,0));//前行后列int maxlen = 0;for(int i = 1; i <= nums1.size(); i++){for(int j = 1; j <= nums2.size(); j++){if(nums1[i-1] == nums2[j-1]){dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;}maxlen = max(maxlen,dp[i][j]);}}return maxlen;}
};

例题4：最长公共子序列

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。两个字符串的「公共子序列」是这两个字符串所共同拥有的子序列。

若这两个字符串没有公共子序列，则返回 0。

示例 1:

• 输入：text1 = "abcde", text2 = "ace"
• 输出：3
• 解释：最长公共子序列是 "ace"，它的长度为 3。

示例 2:

• 输入：text1 = "abc", text2 = "abc"
• 输出：3
• 解释：最长公共子序列是 "abc"，它的长度为 3。

示例 3:

• 输入：text1 = "abc", text2 = "def"
• 输出：0
• 解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0。

提示:

• 1 <= text1.length <= 1000
• 1 <= text2.length <= 1000 输入的字符串只含有小写英文字符。

动规5部曲

这道题其实看起来跟上1题很像，dp[i][j] 代表的仍然是以 A[i-1] 为结尾和在数组 B 中以 B[j-1] 为结尾的最长公共子序列。

不同的是，这道题的dp数组需要保存左边和上面的值，见例：

 所以当两个数组的元素相等时，

dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;

 若两个数组的元素不相等，也需要将 前面相同元素的数量 保存到当前

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);

code

class Solution {
public:int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {vector<vector<int>> dp(text1.size()+1, vector<int>(text2.size()+1,0));//dp数组表示以 i-1 为结尾的数组A 和以 j-1 为结尾的数组B的最长公共子序列int maxlen = 0;for(int i = 1; i <= text1.size(); i++){for(int j = 1; j <= text2.size(); j++){if(text1[i-1] == text2[j-1]){dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;}else{dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);//两个字符不同时，最长公共子序列长度应该是前一个位置的最大值}maxlen = max(maxlen,dp[i][j]);}}return maxlen;}
};

例题5：不相交的线

在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 nums1 和 nums2 中的整数。

现在，可以绘制一些连接两个数字 nums1[i] 和 nums2[j] 的直线，这些直线需要同时满足：

• nums1[i] == nums2[j]
• 且绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。

请注意，连线即使在端点也不能相交：每个数字只能属于一条连线。

以这种方法绘制线条，并返回可以绘制的最大连线数。

 

这题跟第5题可谓是一模一样 

例题6：最大子序和

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例:

• 输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
• 输出: 6
• 解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

 

 动规5部曲

1、dp数组含义

dp[i]：包括下标i（以nums[i]为结尾）的最大连续子序列和为dp[i]。

2、递推公式

dp[i] 有 2 个来源，一是 从前一个连续的子数组加上本身；二是从当前下标重新开始创建子数组

所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);

3、初始化

dp[0] = nums[0]

4、遍历顺序

从左到右

5、举例推导dp数组

 code

class Solution {
public:int maxSubArray(vector<int>& nums) {//dp[i]：表示以 i-1 结尾的连续子数组的最大和为 dp[i]int n = nums.size();vector<int> dp(n);dp[0] = nums[0];int maxlen = nums[0];for(int i = 1; i < n; i++){dp[i] = max(dp[i-1]+nums[i],nums[i]);maxlen = max(maxlen,dp[i]);}return maxlen;}
};