数据结构——拓扑排序（2）

拓扑排序

在实际生活中，许多任务之间存在依赖关系——比如“先修完基础课才能修专业课”“先完成零件生产才能组装产品”。这些依赖关系可以用“有向图”表示，其中顶点代表任务，有向边$(u,v)$表示“任务$u$完成后才能开始任务$v$”。拓扑排序就是对这种图的顶点进行排序，使得所有依赖关系都得到满足：对于任意有向边$(u,v)$，$u$在排序结果中一定位于$v$之前。需要注意的是，只有有向无环图（DAG） 才能进行拓扑排序；若图中存在环（如“任务A依赖任务B，任务B依赖任务A”），则无法完成排序。

1. 拓扑排序的基本思想

拓扑排序的核心逻辑可以概括为“反复挑选没有前置依赖的任务，完成后移除其对后续任务的依赖”。具体来说，就是从图中找到“入度为0”的顶点（入度指指向该顶点的边的数量，入度为0表示没有前置任务），将其加入排序结果；然后删除该顶点及其所有出边（即移除它对后续任务的依赖），更新后续顶点的入度；重复这一过程，直到所有顶点都被加入排序结果，或确认图中存在环（此时仍有顶点未被加入）。

这个过程类似“剥洋葱”：最外层的“无依赖顶点”先被“剥下”，然后内层的顶点因依赖被移除而成为新的“无依赖顶点”，直到整个“洋葱”被剥完（或发现中间有无法剥下的部分，即环）。

2. 拓扑排序的过程（结合图示）

我们用一个具体的有向无环图来演示拓扑排序的过程。假设图中包含6个顶点$V_1$到$V_6$，有向边表示依赖关系：$V_1\to V_2$、$V_1\to V_3$、$V_2\to V_4$、$V_3\to V_4$、$V_4\to V_5$、$V_4\to V_6$（用mermaid绘制如下）。初始时，各顶点的入度为：$V_1$入度0，$V_2$入度1（受$V_1$依赖），$V_3$入度1（受$V_1$依赖），$V_4$入度2（受$V_2、V_3$依赖），$V_5$入度1（受$V_4$依赖），$V_6$入度1（受$V_4$依赖）。