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洛谷P1440 求m区间内的最小值 详解（单调队列优化）

题目描述

给定一个长度为n的序列，要求输出每个长度为m的连续子数组的最小值。若m>n则输出全0。

算法思路

暴力解法缺陷：
直接遍历每个窗口并遍历求最小值，时间复杂度为O(nm)，当n=2e6时会超时。

单调队列优化：
使用双端队列维护一个单调递增序列，队列中存储元素的下标，保证：

1. 队列头部为当前窗口的最小值下标
2. 队列中元素对应的值严格递增
3. 当窗口滑动时，移除失效元素（超出窗口范围的下标）

代码详解（附修正与优化）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int MAXN = 2e6 + 5;
int n, m;
int a[MAXN];       // 存储原始数组
int que[MAXN];      // 单调队列（存储下标）
int front = 0, rear = -1; // 队列指针int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin >> n >> m;// 处理m>n的特殊情况if (m > n) {for (int i = 0; i < n; ++i) cout << "0\n";return 0;}for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i];// 初始化队列（前m个元素）for (int i = 1; i < m; ++i) {while (rear >= front && a[que[rear]] >= a[i]) rear--;que[++rear] = i;}// 输出第一个窗口的最小值cout << a[que[front]] << "\n";// 滑动窗口处理后续元素for (int i = m; i <= n; ++i) {// 移除失效队首（超出窗口范围）while (rear >= front && que[front] <= i - m) front++;// 维护单调性（从队尾移除较大元素）while (rear >= front && a[que[rear]] >= a[i]) rear--;que[++rear] = i;// 输出当前窗口最小值cout << a[que[front]] << "\n";}return 0;
}

关键优化点说明

1. 边界条件处理：

   • 当m>n时直接输出全0（题目特殊要求）
   • 初始化时先处理前m-1个元素，避免初始窗口未形成时的越界访问

2. 时间复杂度O(n)：
   每个元素最多入队、出队各一次，总操作次数为O(n)

3. 空间复杂度O(n)：
   使用线性数组模拟双端队列，避免STL容器额外开销

算法执行流程示例

以输入 n=5, m=3，数组 [1,3,2,4,5] 为例：

1. 初始化窗口[1,3,2]：队列存[1,3]，最小值1
2. 滑动到[3,2,4]：队列存[2,4]，最小值2
3. 滑动到[2,4,5]：队列存[2,4,5]，最小值2
   最终输出：

1  
2  
2

注意事项

1. 数组下标从1开始：避免处理0号元素的特殊情况
2. 严格维护单调性：当新元素小于等于队尾元素时，必须弹出队尾
3. 窗口有效性检查：每次滑动后需确保队首元素在窗口范围内

总结

本题通过单调队列将时间复杂度从O(nm)优化至O(n)，核心思想是：

• 维护一个随时可获取最小值的"滑动窗口"
• 通过队列的单调性保证最小值始终在队首
• 及时清理失效元素（超出窗口范围或被更大元素覆盖）

此算法是滑动窗口类问题的经典解法，可推广至求最大值、中位数等变种问题。