复习下线性代数，使用向量平移拼接两段线

数学原理

1. 线段长度的平方 = 线段两端端点组成向量与其自身的内积

2. 向量外点向向量上投影的相对位置 t

第一种情况，P向AB投影在AB中间，cosθ > 0

AP AB向量点积等于AB，AP的模以及cosθ乘积

所以 t 等于( |AP| *  cosθ ) / |AB| = |AX| / |AB|

垂足X的坐标就可以根据 t, A,B坐标计算：

X = A + t * AB向量

然后得到 PX向量

对PQ上每一个点 point 执行 point + PX向量，即完成平移 

第二种情况，投影在AB外，靠近A的方向, cosθ < 0

t 为负数

第三种情况，投影在AB外，靠近B的方向，类似的

python代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.font_manager as fmdef normalize_vector(v):"""单位化向量"""norm = np.linalg.norm(v)if norm == 0:return vreturn v / normdef point_to_line_distance(point, line_point1, line_point2):"""计算点到直线的距离参数:point: 点的坐标 (x,y)line_point1, line_point2: 直线上的两个点返回:点到直线的距离"""p = np.array(point)p1 = np.array(line_point1)p2 = np.array(line_point2)# 直线方向向量line_dir = p2 - p1line_length = np.linalg.norm(line_dir)if line_length < 1e-10:# 如果线段长度为零，返回点到点的距离return np.linalg.norm(p - p1)# 计算点到直线的距离# 使用向量叉积公式：|(p-p1) × (p2-p1)| / |p2-p1|distance = np.abs(np.cross(p2-p1, p-p1)) / line_lengthreturn distancedef point_to_line_perpendicular_vector(point, line_point1, line_point2):"""计算点到直线的垂线向量返回从点到直线的垂线向量（从点指向直线）"""p = np.array(point)p1 = np.array(line_point1)p2 = np.array(line_point2)# 直线方向向量line_dir = p2 - p1line_length_squared = np.dot(line_dir, line_dir)if line_length_squared < 1e-10:return p1 - p# 计算投影参数 tt = np.dot(p - p1, line_dir) / line_length_squared# 计算垂足坐标foot_point = p1 + t * line_dir# 垂线向量（从点指向垂足）perpendicular_vector = foot_point - preturn perpendicular_vectordef translate_curve_by_first_point_distance(line_points, curve_points):"""将曲线沿着线段的垂线方向平移，平移距离等于曲线第一个点到线段的垂直距离参数:line_points: 线段的两个端点 [(x1,y1), (x2,y2)]curve_points: 曲线的点集 [(x,y), ...]返回:平移后的曲线点集"""if len(curve_points) == 0:return curve_points# 提取线段端点和曲线第一个点p1, p2 = np.array(line_points[0]), np.array(line_points[1])first_point = np.array(curve_points[0])# 计算第一个点到线段的垂线向量perp_vector = point_to_line_perpendicular_vector(first_point, p1, p2)# 计算垂线距离（平移距离）distance = np.linalg.norm(perp_vector)# 计算垂线方向单位向量if distance > 1e-10:unit_perp = perp_vector / distanceelse:# 如果点在直线上，使用法线方向line_dir = p2 - p1unit_perp = normalize_vector(np.array([line_dir[1], -line_dir[0]]))# 平移所有曲线点translated_points = []for point in curve_points:new_point = np.array(point) + unit_perp * distancetranslated_points.append(new_point)return np.array(translated_points), distancedef create_parabola(a, b, c, x_range, num_points=50):"""创建抛物线点集"""x = np.linspace(x_range[0], x_range[1], num_points)y = a * x**2 + b * x + creturn list(zip(x, y))# 可视化函数
def plot_translation_result(line_points, original_curve, translated_curve, distance, title):"""绘制平移结果"""plt.figure(figsize=(10, 8))chinese_fonts = [f.name for f in fm.fontManager.ttflist if 'CJK' in f.name or 'Hei' in f.name or 'YaHei' in f.name]print("可用的中文字体:", chinese_fonts)# 如果有可用中文字体，使用第一个if chinese_fonts:plt.rcParams['font.sans-serif'] = [chinese_fonts[0], 'DejaVu Sans']else:print("未找到中文字体，需要安装")# 绘制原始线段line_x = [line_points[0][0], line_points[1][0]]line_y = [line_points[0][1], line_points[1][1]]plt.plot(line_x, line_y, 'b-', linewidth=3, label='参考线段', marker='o', markersize=8)# 绘制原始曲线orig_x, orig_y = zip(*original_curve)plt.plot(orig_x, orig_y, 'red', linewidth=2, label='原始曲线')plt.scatter(orig_x, orig_y, c='red', s=30, alpha=0.6)# 绘制平移后的曲线trans_x, trans_y = zip(*translated_curve)plt.plot(trans_x, trans_y, 'green', linewidth=2, label='平移后曲线')plt.scatter(trans_x, trans_y, c='green', s=30, alpha=0.6)# 标记第一个点并绘制垂线first_point = original_curve[0]plt.scatter(first_point[0], first_point[1], c='darkred', s=100, marker='*', label='曲线第一个点', zorder=5)# 计算垂足p1, p2 = np.array(line_points[0]), np.array(line_points[1])first_pt = np.array(first_point)line_dir = p2 - p1t = np.dot(first_pt - p1, line_dir) / np.dot(line_dir, line_dir)foot_point = p1 + t * line_dir# 绘制垂线plt.plot([first_point[0], foot_point[0]], [first_point[1], foot_point[1]], 'purple', linestyle='--', linewidth=2, label=f'垂线 (距离: {distance:.2f})')plt.scatter(foot_point[0], foot_point[1], c='blue', s=80, marker='s', label='垂足')plt.grid(True, alpha=0.3)plt.axis('equal')plt.legend()plt.title(f'{title}\n平移距离: {distance:.2f}')plt.xlabel('X')plt.ylabel('Y')plt.show()# 示例使用
if __name__ == "__main__":print("=== 自适应平移距离测试 ===\n")# 测试1: 水平线段 + 抛物线print("测试1: 水平线段 + 抛物线")line_segment1 = [(0, 2), (8, 2)]  # 水平线段parabola1 = create_parabola(a=-0.2, b=1.5, c=1, x_range=(-1, 9))translated_parabola1, distance1 = translate_curve_by_first_point_distance(line_segment1, parabola1)plot_translation_result(line_segment1, parabola1, translated_parabola1, distance1, "测试1: 水平线段 + 抛物线平移")# 测试2: 斜线段 + 倒抛物线print("测试2: 斜线段 + 倒抛物线")line_segment2 = [(1, 1), (7, 5)]  # 斜线段parabola2 = create_parabola(a=0.15, b=-1.2, c=3, x_range=(0, 8))translated_parabola2, distance2 = translate_curve_by_first_point_distance(line_segment2, parabola2)plot_translation_result(line_segment2, parabola2, translated_parabola2, distance2,"测试2: 斜线段 + 倒抛物线平移")# 测试3: 垂直线段 + 宽抛物线print("测试3: 垂直线段 + 宽抛物线")line_segment3 = [(4, 0), (4, 6)]  # 垂直线段x3 = np.linspace(0, 8, 50)y3 = 0.1 * (x3 - 4)**2 + 1parabola3 = list(zip(x3, y3))translated_parabola3, distance3 = translate_curve_by_first_point_distance(line_segment3, parabola3)plot_translation_result(line_segment3, parabola3, translated_parabola3, distance3,"测试3: 垂直线段 + 宽抛物线平移")# 测试4: 验证平移精度print("测试4: 验证平移精度")line_segment4 = [(2, 2), (6, 4)]  # 斜线段parabola4 = create_parabola(a=0.1, b=-0.5, c=3, x_range=(1, 7))translated_parabola4, distance4 = translate_curve_by_first_point_distance(line_segment4, parabola4)# 验证平移后第一个点到线段的距离应该接近0first_point_after = translated_parabola4[0]new_distance = point_to_line_distance(first_point_after, line_segment4[0], line_segment4[1])print(f"原始第一个点到线段距离: {distance4:.6f}")print(f"平移后第一个点到线段距离: {new_distance:.6f}")print(f"平移精度误差: {abs(new_distance):.6f}")plot_translation_result(line_segment4, parabola4, translated_parabola4, distance4,"测试4: 平移精度验证")print("\n=== 所有测试完成 ===")

效果可视化