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news 2025/10/22 8:30:53

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矩阵的极分解（Polar Decomposition）是将一个矩阵分解为一个酉矩阵（或正交矩阵）和一个半正定矩阵的乘积。极分解类似于复数的极坐标表示（ $z = r e^{i\theta}$ ），其中半正定矩阵对应“模长”，酉矩阵对应“相位”。

1. 极分解的前提条件

极分解适用于任意方阵或长方矩阵。对于 $A \in \mathbb{C}^{m \times n}$ （或 $\mathbb{R}^{m \times n}$ ），极分解总是存在。特别地，如果 $A$ 是可逆的，则极分解是唯一的。

2. 极分解的两种形式

极分解有两种等价形式：

(1) 右极分解

$A = UP$

其中：

$U$ 是酉矩阵（ $U^* U = I$ ），若 $A$ 是实矩阵，则 $U$ 是正交矩阵（ $U^T U = I$ ）

$P$ 是半正定矩阵（ $P = \sqrt{A^* A}$ ）

(2) 左极分解

$A = P' U'$

其中：

$U'$ 是酉矩阵（可能与 $U$ 不同）。

$P'$ 是半正定矩阵（ $P' = \sqrt{A A^*}$ ）。

注：

如果 $A$ 是方阵且可逆，则 $U$ 和 $U'$ 相同， $P$ 和 $P'$ 不同；

如果 $A$ 是正规矩阵（ $A A^* = A^* A$ ），则 $P = P'$ ，即左右极分解一致。

3. 极分解的计算方法

(1) 计算右极分解 $A = UP$

计算 $A^* A$ （即 $A^H A$ 或 $A^TA$ ）。

对 $A^* A$ 进行谱分解（特征分解）：

$A^* A = V \Sigma V^*$

其中 $\Sigma$ 是对角矩阵，包含 $A^* A$ 的特征值（非负）。

计算 $P$ ：

$P = \sqrt{A^* A} = V \sqrt{\Sigma} V^*$

（ $\sqrt{\Sigma}$ 是对角矩阵，每个元素取算术平方根）。

计算 $U$ ：

$U = A P^{-1}$
（如果 $A$ 不可逆，则 $U$ 可以通过其他方式构造，如 SVD）。

(2) 计算左极分解 $A = P' U'$

计算 $A A^*$

对 $A A^*$ 进行谱分解：

$A A^* = W \Sigma' W^*$

计算 $P'$ ：

$P' = \sqrt{A A^*} = W \sqrt{\Sigma'} W^*$

计算 $U'$ ：

$U' = P'^{-1}A$

4. 极分解的证明

证明右极分解 $A = UP$

设 $A \in \mathbb{C}^{m \times n}$ ，计算 $A^* A$ ，这是一个半正定矩阵（因为 $x^* A^* A x = \| A x \|^2 \geq 0$ ）。

由于 $A^* A$ 是半正定的，它可以被谱分解：

$A^* A = V \Sigma V^*$

其中 $\Sigma$ 是非负对角矩阵， $V$ 是酉矩阵。

定义 $P = \sqrt{A^* A} = V \sqrt{\Sigma} V^*$ ，显然 $P$ 是半正定的。

构造 $U = A P^{-1}$ （如果 $A$ 不可逆， $P$ 可能有零特征值，此时 $U$ 在零空间可以任意定义）。

验证 $U$ 是酉矩阵：

$U^* U = (A P^{-1})^* (A P^{-1}) = P^{-1} A^* A P^{-1} = P^{-1} P^2 P^{-1} = I$

因此 $U$ 是酉矩阵，且 $A = UP$ 。

5. 极分解与 SVD 的关系

极分解和奇异值分解（SVD）密切相关：

设 $A = U \Sigma V^*$ 是 $A$ 的 SVD，则：

右极分解：

$A = (U V^*) (V \Sigma V^*) = UP$

其中 $U V^*$ 是酉矩阵， $P = V \Sigma V^*$ 是半正定的。

左极分解：

$A = (U \Sigma U^*) (U V^*) = P' U'$
其中 $P' = U \Sigma U^*$ ， $U' = U V^*$

6. 极分解的应用

几何变换、优化、力学、计算机图形学等。极分解是矩阵分析中的重要工具，广泛应用于数学、物理和工程领域，参考：

矩阵的几何解释，极分解将线性变换分解为旋转/反射（酉部分）和拉伸（半正定部分）。

优化问题，在矩阵优化中，极分解可用于约束优化（如正交 Procrustes 问题）。

力学，在连续介质力学中，极分解用于描述变形梯度张量（ $F = RU$ ，其中 $R$ 是旋转， $U$ 是拉伸）。

计算机图形学，用于插值旋转和缩放变换。

7. 具体计算示例

例 1：实矩阵的极分解

设：

$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

计算右极分解 $A = UP$ ：

计算 $A^T A$ ：

$A^T A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$

计算 $P = \sqrt{A^T A}$ ：

$P = \begin{bmatrix} \sqrt{2} & 0 \\ 0 & \sqrt{2} \end{bmatrix}$

计算 $U = A P^{-1}$ ：

$U = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$

这是一个旋转矩阵（正交矩阵）。

最终极分解：

$A = UP = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sqrt{2} & 0 \\ 0 & \sqrt{2} \end{bmatrix}$

例 2：复矩阵的极分解

设：

$A = \begin{bmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{bmatrix}$

计算右极分解 $A = UP$ ：

计算 $A^* A$ ：

$A^* A = \begin{bmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -i \\ i & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$

计算 $P = \sqrt{A^* A}$ ：

$P = \begin{bmatrix} \sqrt{2} & 0 \\ 0 & \sqrt{2} \end{bmatrix}$

计算 $U = A P^{-1}$ ：

$U = \begin{bmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}} \\ \frac{-i}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$

验证 $U$ 是酉矩阵：