数据结构——最小（代价）生成树

要解决“连通图中选$n-1$条边连接所有顶点且总权值最小”的问题，最小（代价）生成树是核心工具。它有两种经典算法——Kruskal和Prim，下面分别从思想、过程、代码及细节展开深入讲解。

最小（代价）生成树

在连通的带权无向图中，“生成树”是包含所有顶点的极小连通子图（有$n$个顶点，$n-1$条边）；“最小生成树”则是总权值（所有边的权值和）最小的生成树，是解决“网络布线、管道铺设”等最小成本问题的关键。

1. Kruskal算法：按边权选边，避环连通

Kruskal算法的核心是“按边权从小到大选边，用并查集避免环”，其设计巧妙利用了“贪心策略”——每次选当前权值最小的边，且保证不形成环，最终得到总权值最小的生成树。

（1）算法思想的深层逻辑

• 对边排序的目的：确保每次选的是“当前未用边中权值最小的”，这是贪心策略的体现；
• 并查集的作用：快速判断两条边是否属于“同一连通分量”（若属于，选这条边会形成环，需跳过）。只有连接不同连通分量的边，才能加入生成树，保证生成树的“无环”和“连通”特性。

（2）过程分析的细节补充（结合图6.16）
图6.16中，每条边的选择都伴随着“连通分量的合并”：

• 初始时，每个顶点都是独立的连通分量，共6个分量；
• 选边$(V_1,V_3,1)$后，$V_1$和$V_3$合并为一个分量，剩余5个分量；
• 选边$(V_4,V_6,2)$后，$V_4$和$V_6$合并为一个分量，剩余4个分量；
• 选边$(V_2,V_5,3)$后，$V_2$和$V_5$合并为一个分量，剩余3个分量；
• 选边