【小白笔记】虚拟货币挖矿算力匹配

一个虚拟货币挖矿系统中，每个矿工拥有一定的算力值n(范围在1到 1018 之间)。系统需要为每个矿工分配一个算力档位，这个档位必须是小于等于矿工当前算力n的最大"稳定算力档"，并且这个档位的算力值各个数位之和必须是一个质数(质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数)。"稳定算力档"定义为从左到右每一位数字都不小于前一位数字，例如 123、111、399 都是符合要求的稳定算力档，像 121、897这种则不符合要求。合理分配算力档位有助于提高挖矿效率和稳定性。

这类“小于等于 $N$ 的最大/最小满足约束 $X$”的题目，都有一个核心模板，只要记住这个模板，就能快速应对：

1. 分治策略：位数 vs. 各位数字。
   • 先考虑位数：
     • 第一步：检查 $N$ 本身。
     • 第二步：尝试构造与 $N$ 位数相同且 $<\mathbf{N}$ 的最大数 $X$。
     • 第三步（备选）：如果找不到，考虑位数比 $N$ 少一位的最大数 $X^{\prime }$。
2. 构造策略：高位匹配 + 低位决定 (贪心)。
   • 从最高位 $i=1$ 开始，依次尝试保持前缀 $X_{1\dots i-1}=N_{1\dots i-1}$。
   • 枚举第一个不匹配位 $i$：从 $X_i=N_i-1$ 从大到小尝试。
   • 一旦 $X_i$ 确定后，为了使 $X$ 最大，剩余的低位 $X_{i+1\dots L}$ 必须填入能满足约束的（且尽可能大的）数字。
     • 本题约束是“非递减”：所以直接将所有低位都填入 $X_i$（即 $X_{i+1}=\cdots =X_L=X_i$），这样才能保证 $X$ 尽可能大且满足稳定算力档要求。

口诀：

先验 $N$ (Check $N$)，再寻 $X$。
高位尽跟 $N$ (Prefix Match)，低位向下找 $X_i$ (Try $N_i-1\to$ lower)。
一旦 $X_i$ 降，后缀全铺满 (Fill Suffix with $X_i$)，最大即刻返 (Return $X$)。

掌握了这个高位贪心降位的套路，就能快速构思出这道题的高效解法。

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1. 明确目标与约束

• 输入 $N$ (矿工算力 $n$): $1\le N\le 10^{18}$（这是一个非常大的数，意味着我们需要处理最多 $18$ 位的整数，需要使用 $64$ 位整数类型）。
• 约束 A (稳定算力档)：从左到右，每一位数字不小于前一位数字（非递减数列）。例如 $123$, $447$, $13579$。
• 约束 B (数字和为质数)：稳定算力档的各位数字之和（$S$）必须是一个质数（$\text{Prime}$）。
• 目标 (Maximum Stable Power Level)：找到小于或等于 $N$ 的最大整数 $X$，使 $X$ 同时满足约束 A 和约束 B。

2. 核心难点分析

A. 质数 (Prime Number)

质数（Prime Number, 又称素数）：一个大于 1 的自然数，除了 1 和它自身外，不能被其他自然数整除。这是一个基础数学概念。

由于 $N$ 最大是 $10^{18}$，其各位数字之和最大是 $9\times 18=162$。我们需要判断的质数范围非常小（1 到 162），可以预先生成或硬编码这个范围内的质数表，以提高判断效率。

KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '}' at position 181: …, 149, 151, 157}̲
Prime(≤162)={2,3,5,…,157}\text{Prime}(\le 162) = \{2, 3, 5, \dots, 157\}Prime(≤162)={2,3,5,…,157}。

B. 稳定算力档 (Non-decreasing Number)

这是一个典型的数字型动态规划 (Digit DP) 或 深度优先搜索 (DFS) 结合记忆化 的范畴，因为需要生成满足特定位值约束的数字。但在这里，我们是要找最大且小于等于 $N$ 的数 $X$，这提示我们使用贪心 (Greedy) 或从高位到低位的尝试 (Trial from MSB) 的思路。

3. 算法设计与思路 (找最大值 $X\le N$)

由于要求找到最大的 $X\le N$，并且 $N$ 的位数是固定的（最多 18 位），我们应该从 $N$ 的最高位开始，尽量构造一个与 $N$ 相似的数字 $X$，并尝试让 $X$ 的位数与 $N$ 的位数相同。

思路：从 $N$ 的高位开始构造

1. 位数相同（优先）：尝试构造一个 $L$ 位（$L$ 是 $N$ 的位数）的稳定算力档 $X\le N$。
2. 位数减少（备选）：如果所有 $L$ 位的稳定算力档都不满足，或者构造 $L$ 位的数过于复杂，我们可以直接考虑最大的 $L-1$ 位的稳定算力档。最大的 $L-1$ 位的稳定算力档肯定是 $99\dots 9$ ( $L-1$ 个 $9$)，但它不一定是稳定算力档，且数字和不一定是质数。因此，我们需要找最大的 $L-1$ 位的稳定算力档 $X^{\prime }\le 10^{L-1}-1$，且其数字和是质数。最大的 $L-1$ 位的稳定算力档是 $\underset{L-1}{\underbrace{11\dots 1}}$ (数字和 $L-1$) 或 $\underset{L-1}{\underbrace{99\dots 9}}$ (如果 $L-1$ 个 $9$ 的和是质数)，但最好的 $L-1$ 位的稳定算力档应该是 $\underset{L-1}{\underbrace{99\dots 9}}$。我们应该找小于 $N$ 的、且位数与 $N$ 相同的最大数 $X$。

主要策略：位构造 + 回溯/迭代 (Digit Construction + Backtracking/Iteration)

我们构造 $X$ 的策略是：尽量让 $X$ 的前缀与 $N$ 的前缀相同，直到某一位 $i$，让 $X[i]<N[i]$，然后从 $i+1$ 位到末位，都填入 $X[i]$，使得 $X$ 尽可能大且满足稳定算力档的要求。

假设 $N$ 有 $L$ 位，我们尝试构造 $X=X_1{X}_2\dots X_L$。

1. 枚举不匹配位 $i$ (Mismatch Position $i$)：从最高位 $i=1$ 到 $L$。
2. 前缀匹配：$X_1{X}_2\dots X_{i-1}=N_1{N}_2\dots N_{i-1}$。
3. $i$ 位向下尝试：$X_i$ 从 $N_i-1$ 向下遍历到 $1$（或 $X_{i-1}$，如果是 $i>1$）。
4. 后缀填充：一旦确定了 $X_i$，那么为了让 $X$ 最大，剩下的位 $X_{i+1}\dots X_L$ 必须全部填入 $X_i$（因为稳定算力档要求非递减）。即 $X_{i+1}=X_{i+2}=\cdots =X_L=X_i$。
   $$X=N_1{N}_2\dots N_{i-1}{X}_i\underset{L-i\text{ 个}}{\underbrace{X_i{X}_i\dots X_i}}$$
5. 校验：
   • 稳定算力档：检查 $X_{i-1}\le X_i$ 是否成立（对于 $i=1$ 恒成立）。如果 $X_i$ 不小于前一位 $X_{i-1}$，则满足稳定算力档要求。
   • 数字和质数：计算 $X$ 的各位数字之和 $S$，检查 $S$ 是否为质数。
6. 结果：一旦找到第一个满足条件的 $X$，它就是小于 $N$ 的最大稳定算力档。因为我们是从高位到低位，从大到小地尝试 $X$ 的值。

例：$N=1245$

不匹配位 $i$	$N_i$	$X_i$ (从 $N_i-1$ 开始向下)	$X$ (后缀填充 $X_i$)	稳定算力档?	数字和 $S$	$S$ 是质数?	结果 $X$
$i=4$	$5$	$4$	$1244$	是	$11$	是	$1244$
$i=3$	$4$	$3$	$1233$	是	$9$	否
		$2$	$1222$	是	$7$	是	$1222$
$i=2$	$2$	$1$	$1111$	是	$4$	否
		$0$	$1000$	是	$1$	否
$i=1$	$1$	(无，因为 $X_1$ 最小为 $1$ )

在这个例子中，$1244$ 是满足要求的最大值。

边界情况：$X=N$ 满足条件

在上述查找 $X<N$ 的过程之前，我们应该先检查 $N$ 本身是否满足约束：

1. $N$ 是否是稳定算力档？
2. $N$ 的数字和 $S_N$ 是否是质数？

如果 $N$ 满足，那么答案就是 $N$。

4. Python实现细节与代码

在 Python 中，由于 $10^{18}$ 仍然在标准 int 的处理范围内，所以不用担心大数问题。

在很多主流编程语言中，处理 $10^{18}$ 这样的数值确实需要使用 long long 或类似的 64 位整数类型。

但是，对于 Python 来说，这句话是正确的：

• Python 的 int 类型：
  Python 标准的 int 类型没有固定的大小限制（unlimited precision）。它会根据需要，自动分配内存来存储任意大的整数。只要计算机的内存允许，Python 的 int 就可以处理。

• 其他语言 (C/C++/Java)：
  在 C/C++ 或 Java 中：

  • int 通常是 32 位，最大值约为 $2\times 10^9$。
  • long long (C/C++) 或 long (Java) 是 64 位，最大值约为 $9\times 10^{18}$。
  • 因此，在这些语言中，要存储 $10^{18}$，必须使用 long long 或 long。

结论：

• 在 Python 中：10**18 可以直接用标准 int 存储和计算，不需要担心溢出问题，所以不用担心大数问题的说法是准确的。
• 在底层原理上：Python 在内部处理 $10^{18}$ 时，实际上是使用了类似于其他语言的 64 位甚至更高位的机制，但这个细节对程序员是透明的，无需手动声明为 long long。

总结一下：

语言	如何处理 $10^{18}$	程序员需要做什么
Python	标准 int 自动支持（无上限）	像处理普通数字一样使用 int
C/C++	必须使用 long long	必须声明为 long long
Java	必须使用 long	必须声明为 long

步骤一：质数预处理

def is_prime(n):"""质数判断函数，用于数字和S <= 162"""if n <= 1:return False# 只需要检查到 sqrt(162) 约 12.7for i in range(2, int(n**0.5) + 1):if n % i == 0:return Falsereturn True# 预先计算出所有可能的数字和（1到162）中的质数集合
MAX_DIGIT_SUM = 9 * 18 # 10^18 - 1 的数字和最大是 9 * 18 = 162
PRIME_SUMS = {i for i in range(2, MAX_DIGIT_SUM + 1) if is_prime(i)}def check_sum(num_str):"""检查字符串表示的数字的各位和是否为质数"""s = sum(int(d) for d in num_str)return s in PRIME_SUMS

这段代码逻辑非常清晰且高效，它负责解决原问题中的第二个核心约束：检查一个数 $X$ 的各位数字之和是否为一个质数。

这段代码的核心思想是：预计算（Pre-computation）。由于数字和 $S$ 的最大值非常小（最大 162），可以先算出所有可能的质数和，然后通过查表（$\text{PRIME\_SUMS}$ 集合）来快速判断，避免重复计算。

下面我将详细解释这段代码的三个部分：

1. is_prime(n) 函数：质数判断

作用：判断输入的整数 $n$ 是否为质数（Prime Number）。

def is_prime(n):"""质数判断函数，用于数字和S <= 162"""if n <= 1:return False# 只需要检查到 sqrt(162) 约 12.7for i in range(2, int(n**0.5) + 1):if n % i == 0:return Falsereturn True

• 第一步：边界条件

  if n <= 1:return False
  

  根据质数（$\text{Prime}$）的定义：一个大于 $1$ 的自然数，除了 $1$ 和它自身外，不能被其他自然数整除。因此 $1$ 和所有小于等于 $0$ 的数都不是质数。

• 第二步：试除法（Trial Division）

  for i in range(2, int(n**0.5) + 1):if n % i == 0:return False
  return True
  

  这是判断质数最常用的方法之一：试除法。

  • 原理：如果一个数 $n$ 不是质数，那么它一定可以分解为两个因子 $a\times b=n$。这两个因子中，至少有一个因子 $\le \sqrt{n}$。
  • 效率优化：因此，我们只需要从 $2$ 开始，检查到 $\sqrt{n}$（即 n**0.5）为止的整数，如果 $n$ 能被其中任何一个数整除（n % i == 0），则 $n$ 不是质数，立即返回 False。
  • 如果循环结束，都没有找到因子，则 $n$ 是质数，返回 True。

在面试中，如果因为紧张或遗忘而想不起“只需要检查到 $\sqrt{n}$”这个优化定理，我们应该如何应对，才能既保证代码的正确性，又展示出良好的解决问题思路呢？

以下是你可以采取的策略和回答：

策略一：保证正确性，牺牲效率 (完整试除)

如果你忘记了 $\sqrt{n}$ 这个优化，首先要做的是保证代码逻辑的绝对正确。

面试回答示例：

“如果我暂时想不起质数判断的最佳优化方法，为了保证程序逻辑的正确性，我会先采用最直观的试除法，即从 2 一直检查到 $n-1$。

def is_prime_simple(n):if n <= 1:return False# 从 2 检查到 n-1for i in range(2, n): if n % i == 0:return Falsereturn True

但是，我会立刻向面试官指出：我知道这种方法效率低下，需要优化。

策略二：分析并提出优化思路 (现场推导 $\sqrt{n}$)

接着，你应该尝试在不依赖记忆的情况下，现场推导出优化为什么只需要到 $\sqrt{n}$。这比直接背出公式更有价值。

面试回答示例：

“这种 O(n) 的方法对于大数来说效率太低了。我们知道，如果一个数 $n$ 不是质数，它一定可以分解为两个因子 $a$ 和 $b$，使得 $a\times b=n$。

现在我们考虑这两个因子的大小关系：

1. 如果 $a>\sqrt{n}$ 且 $b>\sqrt{n}$：那么 $a\times b$ 必然会大于 $\sqrt{n}\times \sqrt{n}=n$。
   $$a\times b>n$$
   但这与 $a\times b=n$ 的前提相矛盾。
2. 因此，两个因子不可能都大于 $\sqrt{n}$。

结论就是：如果 $n$ 有因子，它必然至少有一个因子 $a$ 满足 $a\le \sqrt{n}$。我们只需要找到这个较小的因子 $a$ 即可证明 $n$ 不是质数。

这样，我就能现场推导出优化后的代码，并将循环范围从 $n$ 缩小到 $\sqrt{n}$，使得复杂度降为 $O(\sqrt{n})$。”

策略三：结合本题的特殊性 (数字和范围极小)

在这个特定的题目中，数字和 $S$ 的最大值只有 162。

面试回答示例：

“在这个具体问题中，我们判断质数的数 $S$ 最大只有 $162$。

• $\sqrt{162}\approx 12.7$。这意味着，即使采用 $\sqrt{n}$ 的优化，循环最多也只执行 12 次。
• 即使我们忘记了 $\sqrt{n}$，采用 $O(n)$ 的朴素方法，循环最多也只执行 162 次。

由于 $N$ 的各位数字和是一个非常小的数，两种方法在时间上的差异微乎其微。在实际工程中，我会选择 $O(\sqrt{n})$ 以养成良好的编码习惯；但在面试中，如果时间紧张，使用 $O(n)$ 方法来处理 $S\le 162$ 这样的小范围数字，是完全可以接受的，因为**预计算（Pre-computation）**的总耗时仍然非常低。”

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编程规范和函数设计的优秀实践。

1. 为什么返回 True 和 False 而不是 $0$ 和 $1$？

在现代编程实践中，尤其是在像 Python 这样的高级语言中，布尔值（Boolean values） 是判断函数（is_xxx 函数）的标准返回值，而不是整数 $0$ 和 $1$。

返回值类型	Python 中的表示	含义
布尔值	True 和 False	最直接、最清晰地表示“是/否”或“真/假”的状态。
整数	$1$ 和 $0$	在底层或早期的 C 语言中常用，$1$ 代表真，$0$ 代表假。

选择 True/False 的理由（可读性与规范）：

1. 极高的可读性 (Readability)：当代码写成 if is_prime(s): 时，任何人都能立刻理解“如果 $s$ 是质数”的意思。如果写成 if is_prime(s) == 1:，则多了一层转换，可读性下降。
2. 符合 Python 语言习惯 (Idiomatic Python)：Python 强烈推荐使用布尔值进行逻辑判断。
3. 函数名称决定 (Naming Convention)：在编程中，以 is_、has_ 或 can_ 开头的函数，其约定俗成的规范就是返回布尔值（True/False），表示对某个状态的判断结果。

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2. 返回 $0$ 和 $1$ 是否可行？

可行，但强烈不推荐。

在 Python 中，$0$ 和 $1$ 可以被解释为布尔值（称为布尔上下文）：

• $0$ 会被解释为 False。
• 任何非零数字（包括 $1$）都会被解释为 True。

因此，如果函数返回 $0$ 和 $1$，代码 if is_prime(s): 仍然可以正常工作。

# 假设函数返回 1 和 0
def is_prime_int(n):if n <= 1:return 0  # 0 代表 False# ... 循环 ...if n % i == 0:return 0return 1 # 1 代表 True# 这样使用是完全有效的
if is_prime_int(13):print("是质数")

但是，您不应该这样做。 如果在面试中写了返回 $0$ 和 $1$ 的代码，面试官可能会认为您对 Python 的最佳实践或编程规范不够熟悉。

3. 返回值和报错（Error）的关系

返回 True/False 和程序报错（Error/Exception） 是两码事。

概念	目的/用途	示例
返回值 (True/False)	表示正常的逻辑结果。函数完成了它的判断工作并返回了判断结论。	is_prime(5) 返回 True。
报错/异常 (Exception)	表示程序在执行过程中遇到了非预期的、不正常的情况，导致函数无法完成其设计目标。	如果你调用 is_prime("abc")，程序会因为无法将字符串转为整数而报错（抛出 TypeError）。

在这个 is_prime(n) 函数中，我们期望 $n$ 是一个整数，所以它只会返回 True 或 False，不会在正常情况下返回错误代码（如 $-1$）来表示“不是质数”。

总结：

因为函数名是 is_prime，且用于表示一个状态判断，所以最规范、最清晰、最符合 Python 习惯的返回值是布尔值 True 和 False。

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1. ** 运算符的含义

• 代码中的符号：n**0.5
• 含义：在 Python 中，** 是幂运算符（Exponentiation Operator），用于计算乘方。

运算符	含义	数学表示	举例	结果
**	乘方（幂）	$x^y$	2 ** 3	$2^3=8$

因此，n**0.5 的含义是计算 $n$ 的 $0.5$ 次方，即计算 $n$ 的平方根 $\sqrt{n}$。

注意： 很多其他编程语言（如 C/C++/Java）使用 ^ 符号来表示按位异或（Bitwise XOR），而不是乘方。在 Python 中，^ 也代表按位异或。

2. 为什么不用 math.sqrt() 函数？

在 Python 中，有两种主要的方法计算平方根：

1. 使用 math.sqrt(n) 函数：这是标准库 math 中的函数，专门用于计算平方根。
2. 使用幂运算符 n**0.5：这是 Python 语言内置的运算符，更为简洁。

选择 n**0.5 的原因：

• 简洁性：它不需要在文件开头导入 math 模块，代码更精简。
• 性能（在本例中）：对于内置类型，** 运算符通常经过高度优化，性能接近甚至有时优于库函数。

在实际编码中，两种方法都是正确的。选择 n**0.5 只是追求简洁和 Pythonic（符合 Python 风格）的一种方式。

3. % 运算符的含义

• 代码中的符号：n % i == 0
• 含义：在 Python 和大多数编程语言中，% 是取模运算符（Modulo Operator）或取余运算符。

运算符	含义	举例	结果
%	取余数	10 % 3	$10÷3=3$ 余 $1$

在判断整除中的作用：

• n % i == 0 意为：“$n$ 除以 $i$ 的余数等于 $0$”。
• 这正是判断整除关系的数学表达：如果余数为 $0$，则 $n$ 能被 $i$ 整除。

对比 / 运算符：

运算符	含义	举例	结果	目的
/	浮点除法 (True Division)	10 / 3	$3.333\dots$	计算商（精确值）
//	整数除法 (Floor Division)	10 // 3	$3$	计算商（向下取整）
%	取模/取余 (Modulo)	10 % 3	$1$	计算余数

因此，在判断质数的过程中，我们关心的是能否整除，所以必须使用 % 来获取余数，而不是使用 / 或 // 来获取商。

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2. 预计算质数集合：PRIME_SUMS

作用：根据题目中各位数字和的范围，计算出一个包含所有可能质数和的集合，用于快速查表。

MAX_DIGIT_SUM = 9 * 18 # 10^18 - 1 的数字和最大是 9 * 18 = 162
PRIME_SUMS = {i for i in range(2, MAX_DIGIT_SUM + 1) if is_prime(i)}

这行代码的核心作用是：“从 2 遍历到 162，把其中所有的质数都挑出来，放到 PRIME_SUMS 这个集合里。”

这样，PRIME_SUMS 集合就存储了所有可能的质数和，后续的判断就非常快了。

• MAX_DIGIT_SUM = 9 * 18：只需要考虑数字和在 $[1,162]$ 范围内的质数。
• PRIME_SUMS = {...}：

这行代码是一个典型的 集合推导式 (Set Comprehension)。它本质上是三步操作的浓缩：

部分	含义	对应英文	作用
i	输出表达式	$E$ (Expression)	每次循环要放入集合的元素。
for i in range(2, MAX_DIGIT_SUM + 1)	迭代循环	$F$ (For)	告诉程序要从哪里遍历元素。
if is_prime(i)	过滤条件	$C$ (Condition)	告诉程序哪些元素可以被放入集合。

对应到传统的 for 循环：

这行推导式等价于以下多行代码：

PRIME_SUMS = set()  # 1. 初始化一个空集合
MAX_DIGIT_SUM = 162 # 假设值为 162# 2. 遍历所有可能的数字和
for i in range(2, MAX_DIGIT_SUM + 1): # 3. 检查是否满足条件（是否为质数）if is_prime(i): # 4. 如果满足条件，将元素加入集合PRIME_SUMS.add(i) 

对比：可以看到，推导式将 4 步操作浓缩为 1 行，大大提升了代码简洁度。

2. 记忆口诀（推导式模板）

记住推导式的顺序是：[表达式] + [循环] + [条件]

用中文口诀来记忆：

“想放什么（$E$），从哪开始（$F$），满足什么（$C$）。”

推导式	口诀	对应代码
{ $E$	想放什么？（放入遍历出的元素 $i$）	$\mathbf{i}$
$F$	从哪开始？（从 2 到 162 遍历 $i$）	$\mathbf{for}\mathbf{i}\mathbf{in}\mathbf{range}(\dots )$
$C$	满足什么？（只有 $i$ 是质数时才放入）	$\mathbf{if}is\_prime(\mathbf{i})$
}

所以这行代码就是：

“构建一个集合，我要放进去（$i$），是从这个范围（for i in range(...)）里找出来的，并且要满足（if is_prime(i)）是质数这个条件。”

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3. check_sum(num_str) 函数：快速查表判断

作用：接受一个表示数字的字符串，计算其各位数字之和 $S$，然后检查 $S$ 是否在预计算的质数集合中。

def check_sum(num_str):"""检查字符串表示的数字的各位和是否为质数"""s = sum(int(d) for d in num_str)return s in PRIME_SUMS

• 计算数字和 $S$：

  s = sum(int(d) for d in num_str)
  

  • 这里使用了 Python 的生成器表达式（Generator Expression）：int(d) for d in num_str。
  • 它遍历字符串 num_str 中的每一个字符 $d$（即每一位数字）。
  • 将字符 $d$ 转换为整数（int(d)）。
  • 最后，sum() 函数将所有转换后的整数加起来，得到各位数字之和 $S$。

• 查表判断：

  return s in PRIME_SUMS
  

  • 检查计算出的数字和 $s$ 是否存在于预先计算好的 PRIME_SUMS 集合中。
  • 如果存在，则各位数字之和是质数，返回 True；否则返回 False。

整个流程的优势：这种预计算和查表的方法，比在每次检查时都去计算 $s$ 的质数性要快得多，极大地提高了算法的整体效率。

Python 代码：check_sum(num_str)

这个函数的目的是计算一个数字字符串（例如 "1244"）的各位数字之和，然后快速判断这个和是否为质数。

1. 函数定义与文档字符串

代码	解释
def check_sum(num_str):	定义函数：定义了一个名为 check_sum 的函数，它接受一个字符串参数 num_str。
"""检查字符串表示的数字的各位和是否为质数"""	文档字符串 (Docstring)：说明函数的功能是检查各位数字之和的质数性。

2. 计算各位数字之和

代码	解释
s = sum(int(d) for d in num_str)	核心计算：这一行代码高效地计算了字符串 num_str 中所有数字字符的整数和，并将结果赋值给变量 $s$。
	细节拆解（生成器表达式）：
	for d in num_str：遍历字符串 num_str 中的每一个字符 $d$。例如，如果 num_str 是 "1244"， $d$ 会依次是 '1', '2', '4', '4'。
	int(d)：将字符 $d$ 转换为它对应的整数值。例如，将 '1' 转换为 $1$。
	sum(...)：将生成器表达式产生的所有整数值（即各位数字）累加起来，得到最终的和 $s$。
	举例：对于 "1244"， $s=1+2+4+4=11$。

3. 查表与返回结果

代码	解释
return s in PRIME_SUMS	最终返回：将计算得到的数字和 $s$，与预先计算好的质数集合 PRIME_SUMS 进行比较。
	s in PRIME_SUMS：这是一个成员测试运算符。它检查 $s$ 是否是 PRIME_SUMS 集合中的一个元素。
	返回值：
	* 如果 $s$ 在集合中，说明这个和是一个质数，表达式返回布尔值 True。
	* 如果 $s$ 不在集合中，说明这个和不是质数，表达式返回布尔值 False。

总结

输入（num_str）	各位数字之和（$s$）	s 在 PRIME_SUMS 中吗？	返回值	结论
"1244"	$11$	是（$11$ 是质数）	True	各位和是质数
"1233"	$9$	否（$9$ 不是质数）	False	各位和不是质数

这个函数体现了高效查表的优势：它避免了每次都重新进行质数判断，而是通过一次简单的集合查找（$O(1)$ 复杂度）完成了判断。

步骤二：稳定算力档判断

def is_stable(num_str):"""检查字符串表示的数字是否为稳定算力档（非递减）"""for i in range(1, len(num_str)):if num_str[i] < num_str[i-1]:return Falsereturn True

它通过遍历数字字符串的每一位，确保从左到右的数字是非递减的。

以下是对 is_stable(num_str) 函数的详细解释：

Python 代码：is_stable(num_str)

1. 函数定义与文档字符串

代码	解释
def is_stable(num_str):	定义函数：定义了一个名为 is_stable 的函数，它接受一个字符串参数 num_str（代表矿工算力 $N$ 或候选算力 $X$）。
"""检查字符串表示的数字是否为稳定算力档（非递减）"""	文档字符串 (Docstring)：说明函数的功能是判断数字是否满足“稳定算力档”的要求。稳定算力档的定义就是数字串是非递减的（Non-decreasing）。

2. 遍历检查核心逻辑

代码	解释
for i in range(1, len(num_str)):	循环开始：遍历数字字符串 num_str。
	len(num_str)：获取字符串的长度（即数字的位数）。
	range(1, ...)：循环索引 $i$ 从 $1$ 开始，直到字符串的末尾。
	为什么从 $i=1$ 开始？ 因为我们要比较当前位 num_str[i] 与它的前一位 num_str[i-1]。从 $i=1$ 开始，可以确保 $i-1$（即 $0$）是字符串的有效索引（第一位）。
if num_str[i] < num_str[i-1]:	条件判断：检查“非递减”的约束是否被破坏。
	num_str[i]：当前位数字（例如，"121" 中的第二个 '2' 或第三个 '1'）。
	num_str[i-1]：当前位的前一位数字。
	num_str[i] < num_str[i-1]：如果当前位小于前一位（即出现了递减），则违反了“非递减”的约束。
return False	返回值：如果找到任何一位数字小于它的前一位，函数立即返回 False。含义：这个数不是稳定算力档。

3. 最终判断

代码	解释
return True	返回值：如果循环执行完毕，没有触发 return False（即在整个数字串中，没有发现递减的情况），则函数返回 True。含义：这个数是稳定算力档。

举例说明

输入（num_str）	循环过程	结果	结论
"123"	$i=1$: 2 $\ge$ 1 (继续)；$i=2$: 3 $\ge$ 2 (继续)	循环结束，返回 True	是稳定算力档
"111"	$i=1$: 1 $\ge$ 1 (继续)；$i=2$: 1 $\ge$ 1 (继续)	循环结束，返回 True	是稳定算力档
"121"	$i=1$: 2 $\ge$ 1 (继续)；$i=2$: 1 $< 2` (条件满足)	立即返回 False	不是稳定算力档
"897"	$i=1$: 9 $\ge$ 8 (继续)；$i=2$: 7 $< 9` (条件满足)	立即返回 False	不是稳定算力档

步骤三：主算法实现

核心部分：数位 DP + 记忆化搜索 + 主函数调用

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✅ 完整版（在你提供的前置代码后面直接接上）

from functools import lru_cache
# =======================
# 数位 DP 主体部分
# =======================def solve(n: int) -> int:digits = list(map(int, str(n)))length = len(digits)@lru_cache(None)def dfs(pos: int, prev: int, digit_sum: int, tight: bool) -> str | None:if pos == length:return "" if digit_sum in PRIME_SUMS else Noneupper = digits[pos] if tight else 9# 从大到小枚举for d in range(upper, prev - 1, -1):next_tight = tight and (d == upper)sub = dfs(pos + 1, d, digit_sum + d, next_tight)if sub is not None:return str(d) + subreturn Noneresult = dfs(0, 0, 0, True)return int(result) if result is not None else -1

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这段代码是经典的**数位 DP（Digit Dynamic Programming）算法，它通过记忆化搜索（Memoized Search）**来高效地解决“在小于等于 $N$ 的数中找最大值”这类问题。

要理解和记忆这段代码，关键在于掌握 dfs 函数的四个参数和它如何实现三大约束。

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一：四位“守卫者”与三大约束

这段代码的核心是 dfs 函数，它就像一个复杂的搜索机器人，由四个“守卫者”参数控制，同时检查三项任务（约束）。

1. 四位“守卫者”（参数）

参数	含义	角色（记忆点）
pos	位置 (Position)	进度尺：代表当前在构造数字的第几位，用于控制搜索的长度。
prev	前一位 (Previous Digit)	稳定尺：记录前一个数字，用于确保当前位 $d\ge \text{prev}$，保证非递减。
digit_sum	数字和 (Sum)	质数尺：记录各位数字之和，用于在终点检查质数和约束。
tight	紧边界 (Tightness)	上限尺：布尔值，代表当前构造的前缀是否与 $N$ 的前缀完全相同，用于确保 $X\le N$。

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2. 三大约束的实现

dfs 函数体内的逻辑是围绕这三大约束展开的：

A. 约束一：$\mathbf{X}\le \mathbf{N}$ (由 tight 决定上限)

这是数位 DP 的核心。

代码片段	作用	记忆点
upper = digits[pos] if tight else 9	确定当前位的遍历上限。如果 tight 为真（前缀紧贴 $N$），上限就是 $N$ 的当前位；否则（前缀已经小于 $N$），上限是 $9$。	紧边界决定天花板。
next_tight = tight and (d == upper)	紧边界的传递。只有当 $d$ 达到了上限 upper，且前一位也是紧边界时，next_tight 才是真。	只有贴着走才继续紧。

B. 约束二：稳定算力档（非递减）

代码片段	作用	记忆点
for d in range(upper, prev - 1, -1):	循环从 upper 开始，到 prev - 1 结束。这保证了 $\mathbf{d}\ge \mathbf{prev}$。	从 $\mathbf{prev}$ 开始爬坡。

C. 约束三：数字和为质数

代码片段	作用	记忆点
if pos == length:	终点检查。	跑到终点再查和。
return "" if digit_sum in PRIME_SUMS else None	质数和检查。如果和是质数，返回有效解（""）；否则返回 None。	是质数才放行。

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3. 整体流程与最大化原则

要理解 为什么这个函数能找到最大值，关键在于循环方向和返回机制：

1. 从大到小枚举：for d in range(upper, prev - 1, -1) $\to$ 这确保了我们总是优先尝试最大的数字 $d$。
2. 找到即返回：if sub is not None: return str(d) + sub $\to$ 由于是从高位到低位，且每一位都是从大到小尝试的，所以找到的第一个完整解 $X$ 必然是最大的。

记忆口诀（自顶向下搜索）：

“从高位（pos=0）开始，用 $N$ 的上限（tight=True）框住。
每一位（d）都要从大到小（upper 到 $\mathbf{prev}$）试。
一旦找到一个有效数字 $d$，立即递归（dfs），拼接（str(d) + sub），第一个返回的就是最大值。”

通过分解参数的角色和对应约束，这段复杂的数位 DP 代码的逻辑结构就会变得清晰而容易记忆。

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1️⃣ 输入和准备

digits = list(map(int, str(n)))
length = len(digits)

• 将数字 n 转成 每位数字的列表，方便按位处理。
• length 是数字的位数。

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2️⃣ 内部递归函数 dfs

@lru_cache(None)
def dfs(pos: int, prev: int, digit_sum: int, tight: bool) -> str | None:

参数解释：

• pos：当前处理的数字位索引（从左到右）。

• prev：前一位数字，保证生成的数字 非递减。

• digit_sum：当前已经生成数字的 数字和。

• tight：是否受 n 的上界限制。

  • tight=True 表示当前位置的数字不能超过 digits[pos]。
  • tight=False 表示当前位置可以自由选数字 0~9。

返回值：

• 返回 从当前位置生成的最大数字字符串，或者 None 表示无解。

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3️⃣ 递归终止条件

if pos == length:return "" if digit_sum in PRIME_SUMS else None

• pos == length 表示 递归已经处理到数字的最后一位之后，也就是整个数字已经生成完成。

return "" if digit_sum in PRIME_SUMS else None

• digit_sum 是当前生成数字的 数字和。
• PRIME_SUMS 是预先计算好的 质数集合（1到162以内的质数）。

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return "" if digit_sum in PRIME_SUMS else None 可以分成两种情况：

1. 数字和是质数：

   • digit_sum in PRIME_SUMS 为 True
   • 返回空字符串 ""
     ✅ 这里返回空字符串，是为了递归向上一层构建完整的数字。例如上一位加上当前位形成数字字符串。

2. 数字和不是质数：

   • 返回 None
   • 表示这个生成的数字 不合法，需要回溯到上一层尝试其他可能。

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3️⃣ 为什么返回 "" 而不是数字

• 递归构造数字是从高位到低位：

  str(d) + sub
  

• 当递归到末位：

  • 如果合法，用空字符串作为“基础”，上一层再加上当前位即可。
  • 如果不合法，用 None 表示没有解，这样上一层就知道要尝试下一个数字。

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4️⃣ 举例

假设目标数字是 7：

• dfs(pos=1, prev=7, digit_sum=7, tight=True)：

  • 已经到末位 pos == length
  • digit_sum = 7，7 是质数
  • 返回 ""

• 上一层：

  return str(7) + ""  # 返回 "7"
  

如果数字是 4：

• dfs(pos=1, prev=4, digit_sum=4, tight=True)：

  • digit_sum = 4，不是质数
  • 返回 None

• 上一层知道这个数字不合法，会尝试别的数字。

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🔹 总结

这句代码的核心作用：

• 判断生成的数字是否合法（数字和是质数）。

• 返回递归构造的基础：

  • 合法 → "" 作为字符串的基础
  • 不合法 → None，触发回溯

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4️⃣ 当前位的上界

upper = digits[pos] if tight else 9

• 如果 tight=True，当前位不能超过 n 的对应位 digits[pos]。
• 如果 tight=False，当前位可以自由取最大 9。

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5️⃣ 核心逻辑（循环尝试当前位）

for d in range(prev, upper + 1):next_tight = tight and (d == upper)sub = dfs(pos + 1, d, digit_sum + d, next_tight)if sub is not None:return str(d) + sub

• range(prev, upper + 1)：

  • 保证当前位 >= 前一位，满足 非递减。

• next_tight = tight and (d == upper)：

  • 如果当前位选的数字等于上界，下一位仍受限制。
  • 否则下一位可以自由选。

• dfs(pos + 1, d, digit_sum + d, next_tight)：

  • 递归处理下一位，更新 digit_sum 和 prev。

• if sub is not None: return str(d) + sub：

  • 一旦找到合法解，返回这个组合，因为我们是从大到小枚举，所以第一个合法解就是最大解。

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🔹 总结

这个 solve 函数做的事情就是：

1. 按位构造不超过 n 的数字。
2. 保证数字非递减（每位 ≥ 前一位）。
3. 保证数字和是质数。
4. 利用 记忆化 避免重复计算相同状态，加速递归搜索。
5. 使用 tight 控制是否受 n 限制，保证生成数字 ≤ n。
6. 枚举顺序从大到小 → 第一个合法数字就是 最大数字。

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完全可以说这是 通用的方法，尤其在 数位 DP（Digit DP）题里非常常见

1️⃣ 方法本质

这个 solve 函数实现的是 数位 DP + 记忆化搜索（带剪枝）：

• 数位 DP 的思想是：

  1. 按 数字的每一位 从高位到低位递归处理。
  2. 每一位可以选择的数字范围，受前一位数字限制（如非递减）以及目标数字 n 的前缀约束。
  3. 用 状态记录 避免重复计算，常用 lru_cache 或显式 DP 表。

• 状态设计：

  pos       -> 当前处理到第几位
  prev      -> 上一位数字，保证非递减
  digit_sum -> 当前数字和
  tight     -> 是否还受到 n 前缀限制
  

• 递归逻辑：

  • 遍历当前位可能取的数字
  • 累加数字和
  • 根据 tight 决定下一位是否还受约束
  • 递归结束时判断数字和是否满足要求（这里是质数）

• 从大到小枚举保证第一个合法解就是 最大值。

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2️⃣ 为什么常见

这种模式在很多面试题和竞赛题里出现，例如：

1. 求最大/最小满足条件的数字 ≤ n

   • 题目条件可以是：

     • 数字和满足某种约束（质数、能被 k 整除、能组成回文等）
     • 数字按某种规律排列（非递减、交替大小）

2. 计数问题

   • 不求具体数字，而是求 满足条件的数字有多少个
   • 状态类似：dfs(pos, prev_digit, digit_sum, tight) → 返回数量

3. 组合优化问题

   • 题目要求在约束下选出最大/最小值
   • DP 记录状态，递归从大到小/小到大枚举即可得到最优解

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3️⃣ 这个方法的通用特点

• 高位到低位递归：保证顺序、方便处理前缀约束
• tight 标记：处理数字不能超过 n
• prev 或其他状态变量：处理数字间关系（非递减/非递增）
• digit_sum 或其他累加量：处理全局条件（和、模、特定模式等）
• 记忆化/DP：防止重复计算，保证 O(位数 * 状态数) 的复杂度

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4️⃣ 总结

• 这是 数位 DP 的标准模板，很多代码题都可以套用。

• 变形非常灵活：

  • 可以统计数量或求最大值/最小值
  • 可以改成 数组 DP 而不是递归 + lru_cache
  • 可以添加更多状态，如奇偶、模数、前缀标记等

from functools import lru_cachedef is_prime(n):"""判断是否为质数"""if n <= 1:return Falsefor i in range(2, int(n**0.5) + 1):if n % i == 0:return Falsereturn True# 预先计算数字和可能的质数集合
MAX_DIGIT_SUM = 9 * 18
PRIME_SUMS = {i for i in range(2, MAX_DIGIT_SUM + 1) if is_prime(i)}def is_stable(num_str):"""判断是否为非递减数字"""for i in range(1, len(num_str)):if num_str[i] < num_str[i-1]:return Falsereturn True# =======================
# 数位 DP 主体部分
# =======================def solve(n: int) -> int:digits = list(map(int, str(n)))length = len(digits)@lru_cache(None)def dfs(pos: int, prev: int, digit_sum: int, tight: bool) -> str | None:if pos == length:return "" if digit_sum in PRIME_SUMS else Noneupper = digits[pos] if tight else 9# 从大到小枚举for d in range(upper, prev - 1, -1):next_tight = tight and (d == upper)sub = dfs(pos + 1, d, digit_sum + d, next_tight)if sub is not None:return str(d) + subreturn Noneresult = dfs(0, 0, 0, True)return int(result) if result is not None else -1# 测试
for n in [7, 123, 1,100,20]:print(n, "->", solve(n))