图论基础：探索节点与关系的复杂网络

图是比线性表和树更为复杂的一种非线性数据结构。在线性表中，数据元素之间是线性关系；在树形结构中，元素之间是明显的层次关系（父子节点）。而在图中，任意两个数据元素之间都可能存在关系，这使它能够完美地建模现实世界中各种复杂的关系网络，如社交网络、交通路线、任务依赖等。

一、 图的基本概念

• 顶点：图中的数据元素，通常称为顶点 或 节点。
• 边：图中连接两个顶点的线，表示两者之间的关系。边可以是有方向的（有向图），也可以是无方向的（无向图）。
• 权：边可以有一个数值权重，表示连接的代价、距离或强度，这样的图称为带权图。
• 度：
  • 无向图中，一个顶点的度是指与其相连的边的数量。
  • 有向图中，度分为入度（指向该顶点的边的数量）和出度（从该顶点指出的边的数量）。
• 路径与环：从一个顶点经过一系列边到达另一个顶点构成的序列称为路径。如果路径的起点和终点是同一个顶点，则称之为环。

图的存储方式主要有两种：

1. 邻接矩阵：使用一个二维数组来存储边的关系。简单直观，但空间复杂度高（O(V²)），适合稠密图。
2. 邻接表：为每个顶点维护一个链表，存储所有与其相邻的顶点。空间效率高（O(V+E)），是更常用的表示方法，尤其适合稀疏图。

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二、 图的遍历

图的遍历是指从图中某一顶点出发，按照某种策略访问图中所有顶点，且每个顶点仅被访问一次。遍历是许多图算法的基础。主要有两种策略：

1. 广度优先搜索（BFS）

• 核心思想： “一圈一圈”地向外探索。先访问起始顶点，然后访问其所有未访问过的邻接顶点，再按顺序访问这些邻接顶点的邻接顶点，以此类推。
• 数据结构： 队列。用于存储已被访问但其邻接点尚未被检查的顶点。
• 算法步骤：
  1. 将起始顶点标记为已访问，并放入队列。
  2. 当队列不为空时：
     • 从队列中取出一个顶点 v。
     • 访问 v 的所有未被访问过的邻接顶点，将它们标记为已访问并依次放入队列。
• 应用： 寻找无权图中的最短路径、检查图的连通性、社交网络中的“好友推荐”。
• 复杂度： 时间复杂度 O(V+E)，空间复杂度 O(V)。

代码示例（BFS 伪代码）：

def BFS(graph, start_vertex):visited = set()          # 记录已访问的顶点queue = Queue()          # 创建一个队列visited.add(start_vertex)queue.enqueue(start_vertex)while not queue.is_empty():current_vertex = queue.dequeue()print(f”访问顶点：{current_vertex}”) # 处理当前顶点for neighbor in graph.adjacent_vertices_of(current_vertex):if neighbor not in visited:visited.add(neighbor)queue.enqueue(neighbor)

2. 深度优先搜索（DFS）

• 核心思想： “一条路走到黑”。从起始顶点出发，沿着一条路径尽可能深地探索，直到没有未访问的邻接顶点，然后回溯到上一个顶点，继续探索其他路径。
• 数据结构： 栈（递归调用栈或显式栈）。体现了“后进先出”的回溯特性。
• 算法步骤（递归版本）：
  1. 访问当前顶点 v，并将其标记为已访问。
  2. 遍历 v 的所有邻接顶点 w：
     • 如果 w 未被访问，则递归地执行 DFS(w)。
• 应用： 寻找路径、检测图中是否存在环、拓扑排序。
• 复杂度： 时间复杂度 O(V+E)，空间复杂度 O(V)（主要取决于递归深度）。

代码示例（DFS 递归伪代码）：

def DFS_recursive(graph, v, visited):visited.add(v)print(f”访问顶点：{v}”) # 处理当前顶点for w in graph.adjacent_vertices_of(v):if w not in visited:DFS_recursive(graph, w, visited)# 初始化调用
visited = set()
DFS_recursive(graph, start_vertex, visited)

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三、 最小生成树（MST）

在一个带权的、连通的、无向图中，最小生成树是指一个无环的子图，它连接了图中所有的顶点，并且其所有边的权重之和最小。

应用场景： 要在多个城市之间铺设光缆，如何用最短的总线路连接所有城市（顶点）？这就是一个典型的最小生成树问题。

1. 普里姆算法（Prim‘s Algorithm）

• 核心思想： 从任意一个顶点开始，一步步“生长”出一棵树。每次将连接当前生成树与树外顶点的权重最小的边（以及该边对应的新顶点）加入到生成树中。
• 数据结构： 优先队列（最小堆）。用于高效地找到当前可选的权重最小的边。
• 算法步骤：
  1. 任选一个顶点作为起始点，加入生成树。
  2. 将所有连接生成树内顶点与树外顶点的边加入优先队列。
  3. 从队列中取出权重最小的边。如果这条边连接的另一个顶点不在生成树中，则将该边和顶点加入生成树。
  4. 重复步骤2和3，直到所有顶点都加入生成树。

2. 克鲁斯卡尔算法（Kruskal‘s Algorithm）

• 核心思想： 按权重从小到大考虑所有边，如果加入当前边不会与已选择的边构成环，则将其加入生成树。本质是并查集数据结构的完美应用。
• 数据结构： 并查集。用于高效地判断两个顶点是否已经在同一连通分量（即加入边后是否会形成环）。
• 算法步骤：
  1. 将图中所有边按权重从小到大排序。
  2. 初始化一个空的生成树。
  3. 遍历排序后的边：
     • 如果当前边连接的两个顶点不在生成树的同一个连通分量中（即加入后不会形成环），则将该边加入生成树。
     • 否则，跳过该边。
  4. 当生成树中有 V-1 条边时，算法结束。

对比：

• Prim算法是“顶点导向”的，适合稠密图（边多）。
• Kruskal算法是“边导向”的，适合稀疏图（边少）。

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四、 拓扑排序

拓扑排序是针对有向无环图（DAG） 的一种线性序列。该序列需要满足：对于图中的每一条有向边 u -> v，在序列中 u 都出现在 v 的前面。

应用场景： 课程选修顺序（必须先修完高数才能修线性代数）、任务调度、编译过程中的依赖解析。

核心思想（Kahn 算法，基于BFS）：

1. 统计入度： 计算图中每个顶点的入度。
2. 初始化队列： 将所有入度为0的顶点加入队列。这些顶点是“不依赖任何其他任务的任务”。
3. 处理队列：
   • 从队列中取出一个顶点 u，将其输出到拓扑序列中。
   • 遍历 u 的所有邻接顶点 v，将 v 的入度减1（相当于移除边 u->v）。
   • 如果某个顶点 v 的入度减为0，则将其加入队列。
4. 检查结果： 如果最终的拓扑序列包含了图中所有的顶点，则排序成功；如果序列中顶点数少于总顶点数，说明图中存在环，无法进行拓扑排序。

算法示例：
假设有如下课程依赖图（A->B 表示修B前需先修A）：

数学 -> 物理
数学 -> 编程
物理 -> 电子
编程 -> 电子
编程 -> 算法

一种可能的拓扑排序是：[数学， 物理， 编程， 电子， 算法] 或 [数学， 编程， 物理， 算法， 电子]。

代码示例（拓扑排序 Kahn 算法伪代码）：

def topological_sort(graph):in_degree = {v: 0 for v in graph.vertices} # 初始化入度表# 计算所有顶点的入度for u in graph.vertices:for v in graph.adjacent_vertices_of(u):in_degree[v] += 1queue = Queue()# 将所有入度为0的顶点入队for v in graph.vertices:if in_degree[v] == 0:queue.enqueue(v)topo_order = []while not queue.is_empty():u = queue.dequeue()topo_order.append(u)for v in graph.adjacent_vertices_of(u):in_degree[v] -= 1if in_degree[v] == 0:queue.enqueue(v)if len(topo_order) != len(graph.vertices):print("错误：图中存在环，无法进行拓扑排序！")else:return topo_order

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总结

图是一种极其强大和灵活的数据结构，其相关算法是解决许多现实世界复杂问题的关键。

主题	核心思想	关键数据结构	应用场景
BFS遍历	层层扩散，先广后深	队列	最短路径（无权）、连通性
DFS遍历	深度探索，回溯前进	栈（递归）	路径查找、环检测
最小生成树	用最小代价连接所有点	Prim：优先队列 / Kruskal：并查集+排序	网络搭建、电路设计
拓扑排序	为有向无环图安排顺序	队列、入度表	任务调度、依赖管理

理解这些经典图算法，不仅能帮助你在技术面试中游刃有余，更能为你提供解决复杂系统设计问题的强大工具箱。