电容式传感器

电容式传感器：将变化转换为电容量的变化来实现对物理量的测量

电容式传感器的工作原理及分类

电容传感器的工作原理

电容传感器的工作原理可以用平板电容器来说明：

由绝缘介质分开的两个平行金属板组成的平板电容器

如果不考虑边缘效应，其电容量为：
$$C=\frac{\epsilon A}{d}$$

• $\epsilon$ 是两个极板间介质的介电常数
  $\epsilon ={\epsilon }_0{\epsilon }_r$
  ${\epsilon }_0$ 真空介电常数， ${\epsilon }_r$ 极板间介质的相对介电常数
• $A$ 是两个极板相对有效面积
• $d$ 是两个极板间的距离

电容传感器的分类🚩

由公式 $C=\frac{\epsilon A}{d}$ 可知，影响电容 $C$ 的因素有三个，因此电容式传感器可分为三种类型：

• 变极距型：改变两个极板间的距离来改变电容大小
• 变面积型：改变形成电容的有效面积来改变电容大小
• 变介电常数型：改变介质的介电常数来改变电容大小

根据极板的结构形式将电容式传感器称为：平板型、圆筒形、球面形等

根据电容式传感器在工作时是否是差动的原理可以将其分为：单边结构和差动结构

变极距型电容传感器

(a) 极板 1 为固定极板，极板 2 为可动极板，可动极板会随着外界物体的运动而移动，两极板之间的距离也随之改变，从而电容大小改变（单边结构，只有一个电容随着外界位移发生改变）

(b) 极板 1 为固定极板，将被测物体本身当作一个可动极板，随着被测物的形变或者位置变化，两极板之间的距离也随之改变，从而电容大小改变（单边结构，只有一个电容随着外界位移发生改变）

© 极板 1 和极板 3 为固定极板，极板 2 为可动极板，当极板 2 位于极板 1 和极板 3 中间位置时，上下两个电容的大小相等；当中间极板位置改变的时候，上下两个电容就会呈现相反变化（差动式结构）

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单边结构式变极距型电容传感器的电容计算
$$\begin{gathered} C_0=\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}A}{d_0} \\ C=C_0+\Delta C=\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}A}{d_0-\Delta d}=\frac{C_0(1+\frac{\Delta d}{d_0})}{1-(\frac{\Delta d}{d_0}{)}^2} \end{gathered}$$
$\frac{\Delta d}{d_0}$ 假定比较小（一般小于 10%）
$$C\approx C_0+C_0\frac{\Delta d}{d_0}=C_0(1+\frac{\Delta d}{d_0})⟹\Delta C=C_0\frac{\Delta d}{d_0}$$

变极距型电容式传感器只有在 $\Delta d/d_0$ 很小时，才有近似的线性关系

$d_0$ 越小，同样的 $\Delta d$ 变化所引起的 $\Delta C$ 越大，传感器灵敏度越高
但 $d_0$ 过小会容易引起电容器击穿短路，可采用高介电常数的材料(云母、塑料膜等)作介质，则极板间初始距离可大大减小

差动结构式变极距型电容传感器的电容计算

在实际压力测量中，常使用差动电容传感器，不但提高了灵敏度，也改善了非线性

灵敏度得到一倍的改善

变面积型电容传感器

• 线位移型
  $$\begin{array}{rl}\Delta C& =C-C_0\\ & =\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}b(a-\Delta x)}{d}-\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}ab}{d}\\ & =-\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}b}{d}\Delta x\\ & =-C_0\frac{\Delta x}{a}\end{array}$$
  线位移型的电容相对变化：
  $$\frac{\Delta C}{C}=\frac{\Delta x}{a}$$

• 角位移型
  $$\begin{array}{rl}\Delta C& =\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_r{A}_0(1-\frac{\theta }{\pi })}{d_0}\\ & =C_0-C_0\frac{\theta }{\pi }\end{array}$$
  角位移型的电容相对变化：
  $$\frac{\Delta C}{C}=1-\frac{\theta }{\pi }$$

优点是输入与输出之间呈线性关系，但灵敏度较低，所以适宜于测量较大的直线位移和角位移

变介质型电容式传感器

变介质型电容式传感器的电极板的位置都是固定不变的，两极板之间的介质或介质参数会发生改变

• $L_0$ 和 $b_0$ —— 极板的长度和宽度
• $L$ —— 第二种介质进入极板间的长度

$$\begin{gathered} C=C_1+C_2={\epsilon }_0{b}_0\frac{{\epsilon }_{r1}(L_0-L)+{\epsilon }_{r2}L}{d_0} \\ \downarrow \\ \frac{\Delta C}{C_0}=\frac{C-C_0}{C_0}=\frac{({\epsilon }_{r2}-1)L}{L_0} \end{gathered}$$

电容量的相对变化与电介质的移动量 $L$ 成线性关系

介质	真空	空气	聚乙烯	硅油	金刚石	氧化铝	云母	TiO2
ε	1	≈1	2.26	2.7	5.5	4.5～8.4	6～8.5	14～110

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【应用——液位高度检测】

电容增量与被测液位的高度成线性关系

电容式传感器等效电路

• $L$ ：引线电缆电感和电容式传感器本身的电感
• $R_s$ ：高湿、高温、高频激励工作时串联损耗电阻，由引线电阻、极板电阻和金属支架电阻组成
• $C_0$ ：传感器本身的电容
• $C_p$ ：引线电缆、所接测量电路及极板与外界所形成的总寄生电容
• $R_g$ ：极间等效漏电阻，包含极板间的漏电损耗和介质损耗、极板与外界间的漏电损耗和介质损耗

以上参量对电容传感器的影响随着工作频率的变化而不同

低频等效电路

在低频时传感器电容的阻抗非常大，引线的电感和电阻的影响可忽略

传感器的低频等效电路如下：

等效电容 $C=C_0+C_p$

高频等效电路

在高频时传感器电容的阻抗变小，引线的电感和电阻的影响不可忽略，漏电的影响可忽略

等效电容 $C=C_0+C_p$

电容式传感器的测量电路

转换电路需要将传感器测量输出的电容的变化转换成电压、电流等参量的变化

调频测量电路

将电容接入振荡器的谐振回路，当电容值发生变化的时候谐振频率 $f=1/2\pi \sqrt{LC}$ 发生改变，经过限幅、鉴频和放大后变成电压输出

总电容 $C=C_1+C_2+C_x$
$C_1$ ：振荡回路固有电容；$C_2$ ：传感器引线分布电容；$C_x=C_0+\Delta C$ ：传感器的电容
$$\begin{gathered} f_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{L(C_1+C_2+C_x)}} \\ {f}_0^{\prime }=\frac{1}{2\pi \sqrt{L(C_1+C_2+C_x\pm \Delta C)}}=f_0\mp \Delta f \end{gathered}$$

运算放大式测量电路

运算放大器的放大倍数很大，输入阻抗 $Z_i$ 很高，输出电阻小，所以运算放大器作为电容式传感器的测量电路是比较理想的

$$\dot{U_0}=-\frac{C_0}{C_x}\dot{U_i}=-\frac{d\cdot C_0}{\epsilon \cdot A}\dot{U_i}$$
运算放大器的输出电压与极板间距离 $d$ 成线性关系，运算放大器式电路解决了单个变极板间距离式电容传感器的非线性问题

二极管双T型交流电桥

脉冲型电路的基本原理是：利用电容变化的时候改变充放电回路的时间常数来进行信号调理与输出

从图中右上图可知，电路电源 $u$ 是交流矩形脉冲信号，振幅为 $\pm E$，那么对于整个电路的分析就可以拆分为交流电正半周和负半周来分析：

• 正半周：$V{D}_1$ 导通，$V{D}_2$ 截止，$C_1$ 充电

  负载上电流 ：$I_L=I_1(电源)+I_2(放电)$

• 负半周：$V{D}_1$ 截止，$V{D}_2$ 导通，$C_2$ 充电

  负载上电流 ：$I_L^{\prime }=I_1^{\prime }(放电)+I_2^{\prime }(电源)$

【整体分析】

• 传感器无输入时，$C_1=C_2$，$I_{R_L}=0$
• 传感器有输入时，$C_1\ne C_2$，$I_{R_L}\ne 0$

在负载和电源确定的情况下，输出电压只与电容的差值有关
$$U_0\approx MUf(C_1-C_2)$$

差动脉冲调宽电路🚩

• 双稳态触发器初始输出 $Q$ 为高电平，$\overline{Q}$ 为低电平
• $Q$ 输出的高电平通过电阻 $R_1$ 对电容 $C_1$ 充电
• $C_1$ 电压 $U_1$ 通过充电上升
• 当 $U_1$ > 参考电压 $U_r$ 时，比较器 $A_1$ 输出翻转
• 触发双稳态触发器状态改变： $Q$ 为低电平，$\overline{Q}$ 为高电平
• $\overline{Q}$ 输出的高电平通过电阻 $R_2$ 对电容 $C_2$ 充电，此时 $C_1$ 开始放电
• 当 $C_2$ 的电压 > 参考电压 $U_r$ 时，比较器再次触发翻转
• 双稳态触发器恢复初始状态，完成一个周期

电容差值与输出的关系：

• 平衡状态（ $C_1=C_2$ ）
  • 两个电容的充放电时间完全相同（$T_1=T_2$）
  • 输出 PWM 波的占空比为 50%
  • 经低通滤波后的平均输出电压 $U_0=0$
• 不平衡状态（ $C_1\ne C_2$ ）
  • 电容值较大的电容需要更长的充电时间
  • 若 $C_1>C_2$ ，则$T_1>T_2$
  • 输出 PWM 波的占空比偏离 50%

$$\begin{gathered} U_0=U_A-U_B=\frac{T_1-T_2}{T_1+T_2}{U}_1 \\ 且T=RC(R_1=R_2) \\ \downarrow \\ {U}_0=\frac{C_1-C_2}{C_1+C_2}{U}_1 \end{gathered}$$
输出电压与两个传感器电容的差值成正比

特性：差动脉冲调宽电路能适用于任何差动式电容式传感器，并具有理论上的线性特性