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案例

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1
示例 2：

输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1
示例 3：

输入：coins = [1], amount = 0
输出：0

提示：

1 <= coins.length <= 12
1 <= coins[i] <= 231 - 1
0 <= amount <= 104

动态规划思路

1.状态定义
定义nums[i]为凑成金额i所需的最少硬币数量。

2.状态初始化

• nums[0] = 0：凑成金额0不需要任何硬币。

• 对于其他金额i，初始值设为amount + 1。这是一个足够大的数，表示初始时无法凑成这些金额。

3.状态转移方程
对于每个金额i（从1到amount），尝试使用每种硬币coin：

• 如果当前金额i大于等于硬币面额coin，则可以考虑使用这个硬币。

• 更新nums[i]的值为：
[
nums[i]=\min(nums[i],nums[i-coin]+1)
]
这里的nums[i - coin] + 1表示在凑成金额i - coin的基础上，再加一个面额为coin的硬币。

4.最终结果

• 如果nums[amount]仍然是初始值amount + 1，说明无法凑成该金额，返回-1。

• 否则，返回nums[amount]，即凑成金额amount所需的最少硬币数量。

class Solution {public int coinChange(int[] coins, int amount) {int[]   nums=new int[amount+1];for(int i=0;i<=amount;i++){nums[i]=amount+1;}nums[0]=0;for(int i=1;i<=amount;i++){for(int coin:coins){if(i>=coin){nums[i]=Math.min(nums[i],nums[i-coin]+1);}}}return nums[amount]==amount+1 ? -1:nums[amount];}
}

动态规划法:

动态规划法介绍:

动态规划（Dynamic Programming，简称 DP）是一种用于解决多阶段决策问题的算法思想，它通过将复杂问题分解为更简单的子问题，并存储这些子问题的解以避免重复计算，从而高效地解决问题。动态规划通常用于优化问题，尤其是那些具有重叠子问题和最优子结构特性的问题。

核心概念

• 最优子结构：

• 一个问题的最优解可以由其子问题的最优解组合而成。换句话说，问题的解可以分解为若干个子问题的解。

• 例如，在爬楼梯问题中，到达第(n)阶的方法数可以由到达第(n-1)阶和第(n-2)阶的方法数组合而成。

• 重叠子问题：

• 在递归求解过程中，同一个子问题会被多次计算。动态规划通过存储这些子问题的解（通常使用一个数组或哈希表），避免重复计算，从而提高效率。

• 例如，在递归计算斐波那契数列时，会多次计算相同的值，而动态规划通过存储这些值来避免重复计算。

动态规划的优势

• 高效性：

• 动态规划通过存储子问题的解，避免了重复计算，大大提高了算法的效率。时间复杂度通常为(O(n))。

• 适用性：

• 动态规划适用于具有重叠子问题和最优子结构特性的问题，如背包问题、最长公共子序列、最短路径问题等。

• 可扩展性：

• 动态规划的思想可以扩展到多维问题，通过增加状态维度来解决更复杂的问题。

动态规划的局限性

• 空间复杂度：

• 动态规划通常需要额外的空间来存储子问题的解，空间复杂度可能较高。例如，爬楼梯问题的空间复杂度为(O(n))。

• 状态转移方程的推导：

• 动态规划的关键在于推导状态转移方程，这需要对问题有深入的理解和分析。

• 适用范围：

• 动态规划只适用于具有重叠子问题和最优子结构特性的问题，对于不符合这些特性的问题，动态规划可能不适用。

总结

动态规划是一种强大的算法思想，通过将复杂问题分解为更简单的子问题，并存储这些子问题的解，避免重复计算，从而高效地解决问题。爬楼梯问题是动态规划的经典应用之一，通过定义状态、初始化状态、状态转移和计算顺序，可以高效地求解问题。