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动态规划的“生成”之美：三路指针，优雅构建「丑数」序列

news 2025/10/20 7:14:29

哈喽，各位，我是前端小L。

我们的DP之旅，已经探索了求最优解、求路径、求可能性的各种问题。那些问题，大多是在一个“给定”的输入上，进行分析和计算。今天，我们将迎来一种全新的DP范式——“生成式DP”。我们的目标，不再是分析一个现成的序列，而是要亲手生成、构建一个满足特定规则的序列。

这，就是“丑数II”。它将向我们展示，动态规划如何像一个精密的“数字工厂”，按照“2, 3, 5”这三条核心生产线，源源不断地、按顺序地制造出我们想要的数字。

力扣 264. 丑数 II

https://leetcode.cn/problems/ugly-number-ii/

题目分析： “丑数”是指只包含质因数 2, 3, 5 的正整数。1 通常被认为是第一个丑数。我们的目标是，找到第 n 个丑数。

前几个丑数是 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, ... 7 不是丑数（因为它有质因数7）。11 也不是。

核心洞察： 每一个丑数（除了1），都必然是由另一个更小的丑数乘以 2, 3, 或 5 得到的。

2 = 1 * 2
3 = 1 * 3
4 = 2 * 2
5 = 1 * 5
6 = 2 * 3 (或者 3 * 2)

这个“递推”的性质，是DP的沃土。

思路一：常规武器——最小堆 (Priority Queue)

既然每个丑数都能生成3个更大的“候选”丑数，而我们又总是想要当前“最小”的那个，最小堆这个数据结构就自然而然地浮现在我们脑海中。

算法流程：

初始化一个最小堆，并将第一个丑数 1 放入。
为了防止重复（比如 2*3 和 3*2 都会生成 6），我们还需要一个哈希集合 Set 来记录已经入过堆的数。
循环 n 次： a. 从堆中弹出最小的元素 current_ugly。这就是我们按顺序找到的第 i 个丑数。 b. 将 current_ugly 分别乘以 2, 3, 5，得到三个新的候选丑数。 c. 对于每个新的候选丑数，如果它没在 Set 里出现过，就把它加入堆和 Set。

评价： 这个方法是正确的，思路也很清晰。时间复杂度是 O(n log n)（每次堆操作是log n），空间复杂度是 O(n)。这是一个非常不错的通用解法，但在追求极致的我们看来，还有提升空间！

思路二：“三路归并”的DP神之一手 (O(n))

让我们换个角度。丑数的序列 [1, 2, 3, 4, 5, 6, ...] 本身是一个有序序列。这个有序序列，可以看作是由三个“子序列”归并而成的：

序列A：所有丑数 * 2 -> [1*2, 2*2, 3*2, 4*2, ...] = [2, 4, 6, 8, ...]
序列B：所有丑数 * 3 -> [1*3, 2*3, 3*3, 4*3, ...] = [3, 6, 9, 12, ...]
序列C：所有丑数 * 5 -> [1*5, 2*5, 3*5, 4*5, ...] = [5, 10, 15, 20, ...]

我们的目标，就是从这三个有序的“候选”序列中，不断地挑出最小的那个，来构建我们的主序列。这不就是“合并k个有序链表”的经典思想吗！

1. DP状态定义： dp[i] 表示第 i 个（1-indexed）丑数。我们的目标是 dp[n]。

2. 状态转移的“三指针”： 为了高效地从三个“候选”序列中取最小值，我们不需要真的把它们都生成出来。我们只需要用三个指针，分别指向这三个序列中，下一个将要被考虑的“父丑数”的位置。

p2: 指向序列A中，下一个该乘以2的丑数在 dp 数组中的索引。
p3: 指向序列B中，下一个该乘以3的丑数在 dp 数组中的索引。
p5: 指向序列C中，下一个该乘以5的丑数在 dp 数组中的索引。

状态转移方程： 下一个丑数 dp[i]，必然是三个候选者中的最小值： dp[i] = min(dp[p2] * 2, dp[p3] * 3, dp[p5] * 5)

指针的移动 (关键细节！)： 在确定了 dp[i] 之后，我们需要检查这个最小值是由哪个（或哪些）候选者产生的，然后把对应的指针向前移动一步。

如果 dp[i] == dp[p2] * 2，说明序列A的当前候选者被选中了，p2++。
如果 dp[i] == dp[p3] * 3，说明序列B的当前候选者被选中了，p3++。
如果 dp[i] == dp[p5] * 5，说明序列C的当前候选者被选中了，p5++。

注意： 这里的 if 不能写成 else if！因为可能会有相等的情况，比如 6 = 2 * 3 = 3 * 2。此时，p2 和 p3 都需要向前移动，以避免将来产生重复的丑数。

代码实现 (三指针DP)

class Solution {
public:int nthUglyNumber(int n) {// dp[i] 表示第 i+1 个丑数vector<int> dp(n);dp[0] = 1;// 三个指针，指向下一个要被乘的丑数在dp数组中的索引int p2 = 0, p3 = 0, p5 = 0;for (int i = 1; i < n; ++i) {int next2 = dp[p2] * 2;int next3 = dp[p3] * 3;int next5 = dp[p5] * 5;// 找到三个候选者中的最小值dp[i] = min({next2, next3, next5});// 移动指针if (dp[i] == next2) {p2++;}if (dp[i] == next3) {p3++;}if (dp[i] == next5) {p5++;}}return dp[n - 1];}
};