【机器人学中的状态估计】联合高斯概率密度函数、分解与推断

联合高斯概率密度函数、分解与推断

  设 $(x,y)$ 服从多元正态分布，其联合概率密度函数为：

  我们可以将联合密度分解成两个因子的乘积（条件概率乘边缘概率），$p(x,y)=p(x|y)p(y)$。对于高斯分布，我们可以用舒尔补推演分解的过程：

  右边三项非常容易求逆，因此我们写出逆矩阵：

  接下来，我们看联合概率密度$p(x,y)$的指数部分的二次项：

  可以看到，一个二次项，写成了两个二次项的和。由于这个二次项是在指数部分，指数的相加就是底数相乘，可以得到：

  可以看到，$p(x|y)$和$p(y)$都是高斯概率密度函数。更进一步：如果知道$y$的值（例如传感器观测），就可以通过计算$p(x|y)$得到在给定$y$值的情况下$x$的似然值。这实际上就是高斯推断最重要的部分：我们从状态的先验分布触发，然后基于一些观测值$y_{meas}$来缩小这个范围。可以看到$p(x|y)$中的均值发生了变化，协方差矩阵也确实变小了。