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Problem: 70. 爬楼梯
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
文章目录
- 整体思路
- 完整代码
- 时空复杂度
- 时间复杂度：O(N)
- 空间复杂度：O(N)
整体思路
这段代码同样旨在解决 “爬楼梯” 问题，但它采用的是一种 自底向上（Bottom-Up）的动态规划 方法，也称为 迭代法 或 制表法 (Tabulation)。与上一个自顶向下的记忆化搜索版本相比，这种方法通常更直接，并且没有递归带来的开销。
算法的核心逻辑是构建一个“DP table”（在此代码中是 f 数组），从最小的子问题开始，逐步推导出最终的解。
-
状态定义：
- 算法定义了一个数组
f，其中f[i]的含义是：爬到第i级台阶所拥有的不同方法数。这个定义与记忆化搜索中的memo[i]完全相同。
- 算法定义了一个数组
-
基础情况 (Base Cases)：
- 算法首先填充DP table的初始值，也就是最小的、已知的子问题的解。
f[0] = 1: 到达第 0 级台阶（起点）有 1 种方法（原地不动）。f[1] = 1: 到达第 1 级台阶有 1 种方法（从起点爬 1 阶）。- 这些基础情况是后续所有计算的基石。
-
状态转移 (State Transition)：
- 算法使用一个
for循环，从i = 2开始，按顺序计算f[2],f[3], …, 直到f[n]。 - 循环的每一步都应用了状态转移方程：
f[i] = f[i - 1] + f[i - 2]。 - 这个方程的逻辑是：要到达第
i级台阶，上一步必然是从第i-1级或第i-2级台阶上来的。由于f[i-1]和f[i-2]的值在计算f[i]时已经被计算出来并存储在数组中，我们可以直接使用它们来推导出当前状态f[i]的解。
- 算法使用一个
-
返回结果：
- 当循环结束后，
f数组的所有值都已被填充。我们需要的最终答案——爬n级台阶的方法数——就存储在f[n]中，直接返回即可。
- 当循环结束后，
这种自底向上的方法，通过迭代的方式，系统地解决了从最小到最大的所有子问题，最终得到原问题的解。
完整代码
class Solution {/*** 计算爬 n 级楼梯的总方法数。* @param n 楼梯的总阶数* @return 不同的方法总数*/public int climbStairs(int n) {// 当 n <= 1 时，方法数就是 n 本身（爬0阶1种，爬1阶1种）。// 虽然下面的代码也能处理，但这是一个常见的提前返回优化。if (n <= 1) {return 1;}// f: 动态规划数组，也称为 DP table。// f[i] 用来存储爬到第 i 级台阶的方法数。int[] f = new int[n + 1];// 基础情况：// 到达第0阶（起点）只有1种方法（原地不动）。f[0] = 1;// 到达第1阶只有1种方法（爬1个台阶）。f[1] = 1;// 从第2阶开始，迭代计算直到目标阶数 n。for (int i = 2; i <= n; i++) {// 状态转移方程：// 到达第 i 阶的方法数 = 到达第 i-1 阶的方法数 + 到达第 i-2 阶的方法数。// 因为 f[i-1] 和 f[i-2] 已经被计算过，可以直接使用。f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];}// 循环结束后，f[n] 中存储的就是爬 n 级楼梯的总方法数。return f[n];}
}
时空复杂度
时间复杂度：O(N)
- 循环：算法的核心是一个
for循环，它从i = 2遍历到n。这个循环执行了n - 1次。 - 循环内部操作：
- 在循环的每一次迭代中，执行的都是基本的数组访问和加法运算。
- 这些操作的时间复杂度都是 O(1)。
综合分析：
算法由 N-1 次 O(1) 的操作组成。因此，总的时间复杂度是 (N-1) * O(1) = O(N)。
空间复杂度：O(N)
- 主要存储开销：算法创建了一个名为
f的整型数组来存储动态规划的所有中间状态。 - 空间大小：该数组的长度是
n + 1，其大小与输入n成线性关系。 - 其他变量：
n,i等变量都只占用常数级别的空间，即 O(1)。
综合分析：
算法所需的额外空间主要由 f 数组决定。因此，其空间复杂度为 O(N)。
空间优化提示：
观察状态转移方程 f[i] = f[i - 1] + f[i - 2]，可以发现 f[i] 的计算只依赖于前两个状态 f[i-1] 和 f[i-2]。因此，我们完全不需要存储整个 f 数组，只需用两个变量来滚动记录前两个状态即可。这样可以将空间复杂度优化到 O(1)。