【机器人学中的状态估计】2.1 习题：证明p维高斯概率密度函数积分为1

需要用到结论 【机器人学中的状态估计】2.1 习题：证明一维高斯概率密度函数积分为1

p维高斯分布的积分为1

$$p(\mathbf{x})=\frac{1}{(2\pi {)}^{p/2}|\mathbf{\Sigma }{|}^{1/2}}\exp \left(-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\mathbf{\mu }{)}^{\top }{\mathbf{\Sigma }}^{-1}(\mathbf{x}-\mathbf{\mu })\right)$$

其中：

• $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_p{)}^{\top }$ 是p维随机向量

• $\mathbf{\mu }=({\mu }_1,{\mu }_2,\dots ,{\mu }_p{)}^{\top }$ 是均值向量

• $\mathbf{\Sigma }$ 是 $p\times p$ 的协方差矩阵（对称正定）

我们需要证明：
$${\int }_{{\mathbb{R}}^p}p(\mathbf{x})d\mathbf{x}=1$$

步骤1：变量替换
由于 $\mathbf{\Sigma }$ 是对称正定矩阵，可以进行Cholesky分解：
$$\mathbf{\Sigma }=\mathbf{L}{\mathbf{L}}^{\top }$$
其中 $\mathbf{L}$ 是下三角矩阵。
令$\mathbf{z}={\mathbf{L}}^{-1}(\mathbf{x}-\mathbf{\mu })$

则：

• $\mathbf{x}=\mathbf{\mu }+\mathbf{Lz}$

• $d\mathbf{x}=|\mathbf{L}|d\mathbf{z}=|\mathbf{\Sigma }{|}^{1/2}d\mathbf{z}$（因为 $|\mathbf{\Sigma }|=|\mathbf{L}{|}^2$）
  同时，二次型变为：
  $$(\mathbf{x}-\mathbf{\mu }{)}^{\top }{\mathbf{\Sigma }}^{-1}(\mathbf{x}-\mathbf{\mu })={\mathbf{z}}^{\top }{\mathbf{L}}^{\top }(\mathbf{L}{\mathbf{L}}^{\top }{)}^{-1}\mathbf{Lz}={\mathbf{z}}^{\top }\mathbf{z}$$

步骤2：代入积分

$${\int }_{{\mathbb{R}}^p}p(\mathbf{x})d\mathbf{x}={\int }_{{\mathbb{R}}^p}\frac{1}{(2\pi {)}^{p/2}|\mathbf{\Sigma }{|}^{1/2}}\exp \left(-\frac{1}{2}{\mathbf{z}}^{\top }\mathbf{z}\right)|\mathbf{\Sigma }{|}^{1/2}d\mathbf{z}$$

简化得
$${\int }_{{\mathbb{R}}^p}f(\mathbf{x})d\mathbf{x}=\frac{1}{(2\pi {)}^{p/2}}{\int }_{{\mathbb{R}}^p}\exp \left(-\frac{1}{2}{\mathbf{z}}^{\top }\mathbf{z}\right)d\mathbf{z}$$

步骤3：分离变量

由于 ${\mathbf{z}}^{\top }\mathbf{z}=z_1^2+z_2^2+\cdots +z_p^2$，且积分区域是整个 ${\mathbb{R}}^p$，多重积分可以分解为p个独立积分的乘积：

$${\int }_{{\mathbb{R}}^p}\exp \left(-\frac{1}{2}{\mathbf{z}}^{\top }\mathbf{z}\right)d\mathbf{z}=\prod _{i=1}^p{\int }_{-\infty }^{\infty }\exp \left(-\frac{z_i^2}{2}\right)d{z}_i$$

由一维高斯积分结果可知：
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\exp \left(-\frac{z_i^2}{2}\right)d{z}_i=\sqrt{2\pi }$$
因此
$${\int }_{{\mathbb{R}}^p}\exp \left(-\frac{1}{2}{\mathbf{z}}^{\top }\mathbf{z}\right)d\mathbf{z}=(\sqrt{2\pi }{)}^p$$

步骤4：完成证明

代回原式：
$${\int }_{{\mathbb{R}}^p}p(\mathbf{x})d\mathbf{x}=\frac{1}{(2\pi {)}^{p/2}}\cdot (\sqrt{2\pi }{)}^p=\frac{1}{(2\pi {)}^{p/2}}\cdot (2\pi {)}^{p/2}=1$$

因此，p维高斯分布的积分为1。