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信息学奥赛一本通（C++版）在线评测系统
基础算法 第一节 动态规划的基本模型
1288：三角形最佳路径问题
1. 理解题意
同学们，我们来看一个有趣的数字三角形。就像这样：
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
从这个三角形的顶部开始，一直走到最下面那一行，有好多条不同的路可以走。走的时候有个规则哦，每一步只能走到下一层离它最近的正下方或者右下方的数字那里。比如说，从“7”出发，可以走到“3”或者“8”。然后把走过的数字都加起来，得到一个和。在这么多不同的走法里，有一条路加起来的和是最大的，我们的任务就是找到这个最大的和是多少。
2. 解题思路
我们可以从三角形的底部开始往上算，这有点像搭积木倒着搭。为什么要从下往上呢？因为从下往上算的话，对于每一个数字，我们都能清楚地知道从它往下走哪条路能得到更大的和。
我们给每个数字都“记录”一个数，这个数就是从这个数字出发，走到最下面能得到的最大和。最下面那一行的数字，从它们出发走到最下面的最大和就是它们自己。然后往上一层，对于每个数字，我们看看从它走到下一层的两个相邻数字（正下方和右下方），哪个数字记录的和更大，就把这个更大的和加上当前数字，得到当前数字新的“记录”。就这样一层一层往上算，最后顶部数字记录的和就是从顶部到底部的最佳路径的和啦。
3. 解题步骤
- 输入三角形：首先输入三角形的高度
h，也就是最下面那一行数字的个数。然后按照三角形的样子，把每一行的数字都输入到程序里，存到一个像小表格一样的地方（二维数组）。 - 初始化最底层的和：最下面那一行的数字，它们走到最下面的最大和就是它们自己，所以先把最下面那一行每个数字对应的最大和都设成它自己。
- 从下往上计算：从倒数第二层开始往上，对于每一层的每个数字，比较它走到下一层相邻两个数字记录的和，把大的那个和加上当前数字，更新当前数字记录的和。
- 得到结果：最后，三角形顶部数字记录的和就是最佳路径的长度数值，把这个数值输出。
4. C++代码实现
#include <iostream> // 包含输入输出流的头文件，这样我们就能输入和输出数据啦
using namespace std; int main() {int h; // 定义变量h，用来存储三角形的高度cin >> h; // 从键盘输入三角形的高度hint a[101][101]; // 定义二维数组a，用来存储三角形里的数字，最多可以存100层的三角形// 输入三角形里的每个数字for (int i = 1; i <= h; i++) { for (int j = 1; j <= i; j++) { cin >> a[i][j]; // 从键盘输入当前位置的数字}}// 从下往上计算每个位置出发的最大和for (int i = h - 1; i >= 1; i--) { for (int j = 1; j <= i; j++) { // 比较从当前数字走到下一层相邻两个数字记录的和，取大的加上当前数字if (a[i + 1][j] > a[i + 1][j + 1]) { a[i][j] += a[i + 1][j]; } else {a[i][j] += a[i + 1][j + 1]; }}}cout << a[1][1] << endl; // 输出三角形顶部数字记录的和，也就是最佳路径的长度数值return 0;
}
5. 知识点总结
- 二维数组：我们用二维数组
a来存储数字三角形。二维数组就像是一个有行有列的小表格，a[i][j]表示第i行第j列的数字。通过它，我们可以方便地找到三角形里的每个数字。 - 循环嵌套：使用了两层循环来输入三角形的数字，又用两层循环从下往上计算每个数字出发的最大和。外层循环控制行数，内层循环控制每行的数字个数。循环嵌套可以让我们对二维数组里的每个元素进行操作。
- 动态规划思想：这是解决这个问题的关键思想。动态规划就是把一个大问题分成很多小问题，先解决小问题，再通过小问题的解得到大问题的解。在这个问题里，我们从最下面一行数字开始，逐步往上计算每个数字出发的最大和，最后得到整个三角形最佳路径的和。