倍数关系：最多能选出多少个数

题目：从 $1,2,3,\cdots ,2014$ 中最多可以选出多少个不同的数．使得在所选数中任取三个数．其中都可以找到两个数．满足：一个是另一个的倍数？

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🔍 破题思路

题目要求选的数必须满足：任意三个数中必有一对是倍数关系．

• 若选的数全无倍数关系（如 $3,5,7$）．则违反条件．
• 因此需构造倍数链（如 $1,2,4,8$）．

💡 关键观察：

若将选的数分为若干条"互不干扰"的倍数链．且每条链长度 ≤2．则条件必然满足．

但这样效率低！更优策略是——用指数增长控制规模．

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🔢 关键推导

1. 证明上限（最多选21个数）

假设选出的数列为 $a_1<a_2<\cdots <a_n$．满足条件．

• 由 $a_2\ge 2$．且 $a_2,a_3,a_4$ 中必有一对倍数关系．因 $a_4$ 最大．故 $a_4$ 是 $a_2$ 的倍数．即：
  $$a_4\ge 2a_2\ge 2^2$$
• 类似地：
  $$\begin{array}{rl}{a}_6& \ge 2a_4\ge 2^3\\ & \cdots \\ a_{2k}& \ge 2^{k+1}\end{array}$$
  若 $n\ge 22$．则：
  $$a_{22}\ge 2^{11}=2048>2014\text{（矛盾）}$$
  故 $n\le 21$．

2. 构造21个数的例子

取以下两组数：

1. 纯2的幂：$1,2,4,\cdots ,2^{10}$（共11个）．
2. 带3的混合幂：$3,2\times 3,4\times 3,\cdots ,2^9\times 3$（共10个）．

验证：

• 若三个数全来自第一组或第二组．因组内是等比数列．必有两数成倍数关系．
• 若跨组取数（如 $2^a$ 和 $3\times 2^b$）．虽无直接倍数关系．但第一组内部已满足条件（抽屉原理）．

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💎 总结归纳

通用解题策略

1. 找约束：通过必要条件（如数列增长下界）推导上限．
2. 构造反例：用指数或线性增长构造满足条件的例子．验证上限可达．
3. 分类讨论：将数列分为若干子集．确保子集内部满足条件．