数据结构——二十二、并查集(王道408)

前言

本文介绍了并查集（Disjoint Set）的逻辑结构、存储实现和优化方法。主要内容包括：1）用互不相交的树表示集合，通过查操作（Find）和并操作（Union）实现集合操作；2）使用双亲表示法存储结构，给出初始化、查、并的代码实现；3）提出优化方案，通过小树合并到大树的方式控制树高，将查操作的时间复杂度从O(n)优化到O(log₂n)。并查集是一种高效处理不相交集合的数据结构，适用于需要频繁查询和合并集合的场景。文章还总结了并查集的重要考点和知识点框架。

代码在文章开头,有需要自取🧐

一.逻辑结构——“集合”

1.全集

2.子集与森林

• 将各个元素划分为若干个互不相交的子集
  

• 森林。森林是m（m≥0）棵互不相交的树的集合
  

• 同一子集中的各个元素，组织成一棵树用于表示各个子集之间互不相交的关系

二.用互不相交的树，表示多个“集合”

1.查操作

如何“查”到一个元素到底属于哪一个集合?
答:从指定元素出发,一直寻找它的父结点,直至找到根节点,根节点代表了其属于哪一棵树

如何判断两个元素是否属于同一个集合？
答:分别查到两个元素的根，判断根节点是否相同即可

2.并操作

如何把两个集合“并”为一个集合？
答:让一棵树成为另一棵树的子树即可

注：并查集(Disjoint Set)是逻辑结构——集合的一种具体实现，只进行“并”和“查”两种基本操作

三.代码实现并查集

1.存储结构——双亲表示法

1.定义

• 双亲表示法：每个结点中保存指向双亲的“指针”

2.代码

#define SIZE 13
int UFSets[SIZE];	//集合元素数组

3.图例

2.初始化

初始状态:所有的元素都是一个一个独立的结点

//初始化并查集
void Initial(int S[]){for(int i=0; i<SIZE; i++)S[i]=-1;
}

3.查操作

1.定义

• Find–“查”操作：确定一个指定元素所属集合

2.代码

//Find“查”操作，找x所属集合（返回x所属根结点）
//x表示这个元素的数组下标
int Find(int S[], int x){while(S[x]>=0)//循环寻找x的根x=S[x];return x; //根的S[]小于0
}

3.时间复杂度

• 若结点数为n，Find最坏时间复杂度为O(n)

4.并操作

1.定义

• Union–“并”操作：将两个不相交的集合合并为一个

2.代码

}
//Union“并”操作，将两个集合合并为一个
//Root1和Root2是要合并的两个集合的根结点
void Union(int S[], int Root1, int Root2){//要求Root1与Root2是不同的集合if(Root1==Root2) return;//将根Root2连接到另一根Root1下面S[Root2]=Root1;
}

3.时间复杂度

• 时间复杂度：O(1)

四.使用Union操作优化并查集

可以看出查这个操作的最坏的时间开销直接和树的高度的相关,如果我们想要优化这个并查集的效率的话,那我们能否在构造这个树的时候让这棵树别长得太高

1.优化思路

• 在每次Union操作构建树的时候，尽可能让树不长高
  ①用根节点的绝对值表示树的结点总数
  ②Union操作，让小树合并到大树

• 例子
  

  • A这棵树有6个结点,因此存为-6
  • C这棵树有2个结点,因此存为-2
  • C这棵树有5个结点,因此存为-5

2.代码展示

//Union“并”操作，小树合并到大树
void Union(int S[], int Root1, int Root2){if(Root1==Root2) return;if(S[Root2]>S[Root1]){//Root2结点数更少S[Root1] += S[Root2]; //累加结点总数S[Root2]=Root1; //小树合并到大树}else{S[Root2] += S[Root1]; //累加结点总数S[Root1]=Root2; //小树合并到大树}
}

3.优化后影响

• 该方法构造的树高不超过$\lfloor lo{g}_{2}n\rfloor +1$
• Union操作优化后，Find操作最坏时间复杂度：O(log₂n)

五.知识回顾与重要考点

结语

二更😉

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