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【Algorithm】二分查找算法

news 2025/10/18 12:01:27

本篇文章主要介绍二分查找算法

1 二分查找算法简介

1）二分查找算法的概念

所谓的二分查找算法其实就是在一个数组中，通过一个点将数组分为两部分，然后在其中一部分里面查找结果的算法就叫做二分查找算法。这样讲解可能比较抽象，接下来我们通过一道题目来理解什么是二分查找算法：

二分查找

链接：704. 二分查找 - 力扣（LeetCode）

题目描述：

给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果 target 存在返回下标，否则返回 -1。

你必须编写一个具有 O(log n) 时间复杂度的算法。

示例 1:
输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9
输出: 4
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4
示例 2:
输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2
输出: -1
解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1
提示：

你可以假设 nums 中的所有元素是不重复的。
n 将在 [1, 10000]之间。
nums 的每个元素都将在 [-9999, 9999]之间。

题目解析：

这道题目比较好理解，题目中会给你一个数组 nums 与一个目标值 target，数组中的元素都是升序的，题目的要求是让你在 nums 中寻找一个数，如果该数等于 target，那就返回这个数字的下标，如果找不到就返回 -1。

算法讲解：

我们先来想一下暴力解法，暴力解法很好想，就是遍历一遍数组，如果 nums[i] == target，那就返回 i，数组遍历完后，如果还没有返回，那就返回 -1。显然暴力解法的时间复杂度为 O(n)。

那么怎么优化呢？题目中有一个条件是数组中的元素都是有序的，所以我们可以利用这个条件来进行优化。首先我们先选取任意一个位置 i，如果 nums[i] == target，那我们直接就返回 i 了；如果 nums[i] < target，由于数组是有序的，所以 i 位置以及 i 位置左边的元素都会小于 target，所以结果只可能存在于 i 右半部分，此时我们发现该问题可以通过 i 这个点将数组分为两部分，并且我们可以通过条件排除掉一部分，这时候我们就可以二分算法解决问题了。

首先我们定义 left = 0, right = nums.size() - 1，我们取中间点作为分割点（取 1/3 或者 1/4 点都是可以的，只不过取中间点效率更高），也就是 mid = left + (right - left)/2，如果 nums[mid] > target，说明结果只存在于 mid 的左半部分，所以让 right = mid - 1；如果 nums[mid] < target，说明结果只存在于 mid 的右半部分，所以让 left = mid + 1；如果 nums[mid] == target，直接返回 mid 就可以了。那么停止条件是什么呢，在我们查找的过程中，我们发现如果 left > right 了，其实所有的数字都已经检测过了，这时候肯定要停止，那么如果 left == right 呢？其实此时也是需要进入循环的，因为 left == right 的上一步要么是 nums[mid] > target, 然后 right = mid - 1，此时 left == right，或者是 nums[mid] < target，然后 left = mid + 1，此时 left == right，但是 nums[left] 并没有检测过，万一这个数字是正确结果，我们就遗漏了这种情况，所以当 left <= right 时，我们就进入循环。

代码：

class Solution 
{
public:int search(vector<int>& nums, int target) {int left = 0, right = nums.size() - 1;while (left <= right){int mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] > target) right = mid - 1;else if (nums[mid] < target) left = mid + 1;else return mid;}return -1;}
};

我们来分析一下其时间复杂度，当执行次数为 1 次时，数组的长度变为 n/2，当执行次数为 2 次时，数组的长度为 n/4，也就是 n/2^2，当执行次数为 3 次时，数组长度变为了 n/8，也就是 n/2^3，以此类推，当执行次数为 x 次时，数组长度就是 n/2^x，而停止条件是数组长度为1，所以 n/2^x = 1 ==> 2^x = n ==> x = $\log_{2}n$ ，所以时间复杂度 T(n) = O(logn)。

通过这道题目，我们可以了解到什么是二分查找算法，就是当数组具有二段性，可以将数组分为两部分，我们可以根据条件排除掉两部分中的一部分，只在剩下的那部分中寻找答案时，这个就叫做二分查找算法（这也是二分查找算法的条件）。所以应用二分查找算法并不一定要数组中的元素有序，只要具有二段性，我们就可以采用二分查找算法。

2）二分查找算法模板

当我们确定一个算法能够使用二分查找算法时，这个算法的代码编写一般都是具有套路的，也就是二分查找算法的模板，但我们使用二分查找算法时，我们就可以套用模板编写代码：

while (left <= right)
{int mid = left + (right - left) / 2;    if (...) right = mid - 1;else if (...) left = mid + 1;else ...
}

使用模板时，需要注意循环条件为 left <= right，...是根据题目判断出的数组二段性的条件。

2 左边界与右边界的二分查找

1）左边界与右边界的二分查找简介

上面的那个二分查找算法模板，其中求中点的方式为 mid = left + (right - left) / 2，其实还有一种求中点的方式为 mid = left + (right - left + 1) / 2，这两种求中点的方式对于奇数个元素是没有区别的，比如 nums 中共有 5 个元素，最左边和最右边元素的下标分别是 0 和 4，此时 left = 0，right = 4，第一种 mid = 0 + (4 - 0) / 2 = 2，第二种 mid = 0 + (4 - 0 + 1) / 2 = 2（C\C++ / 运算符两边都是整数求出来为整数），但是对于偶数个元素就不一样了，比如共有 4 个元素，此时 left = 0, right = 3，第一种 mid = 0 + (3 - 0) / 2 = 1，第二种 mid = 0 + (3 - 0 + 1) / 2 = 2，所以采用第一种方法求出来的中点为左边的中点，第二种还方法求出来的中点为右边的中点。对于两种求中点的方法，其实二分查找的策略也是不同的，接下来我们通过一道题目来进行讲解。

在排序数字中查找元素的第一个和最后一个位置

链接：34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置 - 力扣（LeetCode）

题目描述：

给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。

你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

示例 1：
输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出：[3,4]
示例 2：
输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出：[-1,-1]
示例 3：
输入：nums = [], target = 0
输出：[-1,-1]
提示：

0 <= nums.length <= 105
-109 <= nums[i] <= 109
nums 是一个非递减数组
-109 <= target <= 109

题目解析：

题目中会给你一个 nums 数组和一个目标值 target，nums 中的元素是以非递减顺序排列的，比如 nums = [1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6]。题目要求你在 nums 数组中找到第一个与最后一个跟 target 相同的元素，并以一个 vector<int> 的形式返回这两个元素的下标，不存在就返回 [-1, -1]。

算法讲解：

这道题目与上面的那道二分查找的题目很像，只不过那一道题目中的元素是单调递增的，这道题目中 nums 元素是单调不减的，我们可以向上一道题一样先对 nums 中的元素进行分组。这道题目既要查找左边界，又要查找右边界，所以我们先讲解如何查找左边界。

查找左边界：

在查找左边界时，我们需要找到这一道题目的二段性，因为 nums 中的元素是单调不减的，所以与 target 相同的元素会有很多，我们不能简单的分成 nums[i] < target、nums[i] > target 或者 nums[i] == target，如果等于 target 直接返回，那就不一定是正确答案，比如 nums = [1, 2, 2, 2, 3]。所以我们需要进行另一种二段性的划分，在查找左边界时，我们可以利用 nums[i] < target 与 nums[i] >= target 来划分，因为要找到左边界，所以我们就需要找到 nums[i] >= target 区间内的第一个数字，此时我们采用的二分策略是：

（1）nums[mid] < target，说明左边界不可能在 mid 及 mid 左边的元素里，所以此时我们让 left = mid + 1

（2） nums[mid] >= target，这时候我们不能让 right = mid - 1，因为 mid 可能就是左边界，如果是左边界，那么 right = mid - 1 之后，剩下的区间里就没有正确答案了，所以此时我们让 right = mid

采用上面的二分查找策略之后，我们需要思考两个问题，那就是查找的停止条件和找寻中点的方式是什么？停止条件其实就两种，一种是 left < right，一种是 left <= right，如果是 left <= right，是会出现死循环的，因为会存在这么一种情况：在二分查找进行了一段时间之后，left、mid、right 分别是 [2, 2, 3]，target = 3，nums[mid] < 3，所以 left = mid + 1，此时 left == right == mid，所以如果是 left <= right，会再次进入循环，此时 nums[mid] >= target，right = mid，这样一直重复下去，就死循环了，所以循环条件只能是 left < right。其实当 left == right 的时候，这时候就已经是答案了，因为 right 一直位于合法区间内，left 一直位于不合法区间，而且 left 是会极力的跳出不合法区间，所以一旦他们两个相遇，就必定是结果。

那么找寻中点的方式是选择左边还是右边的中点呢？其实查找左边界应该选择左边的中点，因为选择右边的中点依然是会死循环的：存在这么一种情况，当二分查找进行了一段时间之后，left 与 right 相邻，并且 nums[right] >= target，如果选择右边中点，那么 mid == right，此时 nums[mid] >= target，right = mid，这样就陷入了死循环，所以我们应该选择左边中点。

查找右边界：

有了查找左边界的方法，查找右边界也类似，只是二分查找策略需要调整一下：

（1） nums[mid] > target，那么 mid 及 mid 右边的元素就不会是结果，right = mid - 1

（2） nums[mid] <= target，此时 mid 可能是正确结果，所以 left = mid

那么循环条件与找中点方式呢？循环条件依旧是 left < right，因为 left <= right 依旧会像左边界一样进入死循环，例子为 [2, 3, 3]，分别是 left, mid, right，target = 2。查找中点的方式应该是找右边中点，如果查找左边中点，当 left 与 right 相邻且 nums[left] <= target 时，此时就会进入死循环。

代码：

class Solution 
{
public:vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {vector<int> v = {-1, -1};//特殊处理if (nums.size() == 0) return v;//查找左端点int left = 0, right = nums.size() - 1;while (left < right){//中点为左边中点int mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] < target) left = mid + 1;else right = mid;}if (nums[left] == target) v[0] = left;//查找右端点left = 0, right = nums.size() - 1;while (left < right){//中点为右边中点int mid = left + (right - left + 1) / 2;if (nums[mid] <= target) left = mid;else right = mid - 1;}if (nums[left] == target) v[1] = left;return v;}
};

通过这道题目，我们发现其实是采用左边中点还是右边中点非常重要，因为会涉及到死循环的问题，所以我们接下来就来总结模板来帮助记忆。

2）模板

//寻找左边界
while (left < right)
{//一定是求左边中点int mid = left + (right - left) / 2;if (...) left = mid + 1;else right = mid;
}//寻找右边界
while (left < right)
{//一定是求右边中点int mid = left + (right - left + 1) / 2;if (...) left = mid;else right = mid - 1;
}

在上面的模板中，最重要的就是判断条件和求中点的方式，下面的 left 和 right 如何变化，只需根据题目分析即可。