hot 100 | 一文讲清动态规划

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动态规划（DP）简明理解与推导

一、核心概念

动态规划（Dynamic Programming, DP） 是一种算法思想：

把大问题拆成多个子问题，通过记忆化保存子问题的解，逐步推导出全局最优解。

一句话总结：

DP = 状态定义 + 状态转移 + 初始化 + 遍历顺序 + 答案输出

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二、通用五步模板

步骤	内容	示例
①	明确状态	dp[i] 表示第 i 个位置的最优值
②	状态转移	根据前面状态推出当前
③	初始化	最小子问题直接给值
④	遍历顺序	通常从小到大
⑤	输出结果	dp[n-1] 或 max(dp)

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三、例题一：爬楼梯（Climbing Stairs）

每次可以爬 1 或 2 个台阶，问爬上第 n 级有几种方法？

思路分析

要到达第 i 级，有两种可能：

• 从 i-1 级迈一步；
• 从 i-2 级迈两步。
  所以：
  [
  dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
  ]

推导过程

i	含义	推导公式	结果
1	只有一种方法（1步）	dp[1] = 1	1
2	1+1 或 2步	dp[2] = 2	2
3	dp[2] + dp[1]	2+1	3
4	dp[3] + dp[2]	3+2	5
5	dp[4] + dp[3]	5+3	8

Java代码

class Solution {public int climbStairs(int n) {if (n <= 2) return n;int[] dp = new int[n + 1];dp[1] = 1; dp[2] = 2;for (int i = 3; i <= n; i++) {dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];}return dp[n];}
}

结果示例： n=5 → 输出 8。
时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(n)。

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四、例题二：最大子数组和（Maximum Subarray）

给定数组，找出和最大的连续子数组。

思路分析

定义 dp[i]：以第 i 个元素结尾的最大连续子数组和。
状态转移：
[
dp[i] = \max(nums[i], dp[i-1] + nums[i])
]

解释：

• 如果前面的和 dp[i-1] 是负数，丢掉重开；
• 否则接着加上当前数。

推导过程

以数组 [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4] 为例：

i	nums[i]	计算	dp[i]	当前最大
0	-2	初始	-2	-2
1	1	max(1, -2+1)	1	1
2	-3	max(-3, 1-3)	-2	1
3	4	max(4, -2+4)	4	4
4	-1	max(-1, 4-1)	3	4
5	2	max(2, 3+2)	5	5
6	1	max(1, 5+1)	6	6
7	-5	max(-5, 6-5)	1	6
8	4	max(4, 1+4)	5	6

最终最大值 = 6（来自子数组 [4, -1, 2, 1]）

Java代码

class Solution {public int maxSubArray(int[] nums) {int currentSum = nums[0], maxSum = nums[0];for (int i = 1; i < nums.length; i++) {currentSum = Math.max(nums[i], currentSum + nums[i]);maxSum = Math.max(maxSum, currentSum);}return maxSum;}
}

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)

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五、例题三：0-1 背包问题（Knapsack）

有 n 个物品和容量为 C 的背包，每个物品有重量 w[i]、价值 v[i]。
每个物品最多选一次，求最大价值。

思路分析

dp[j] = 背包容量为 j 时的最大价值。
对于第 i 个物品：

• 不放：价值不变；
• 放：容量减少 w[i]，价值增加 v[i]。

转移公式：
[
dp[j] = \max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i])
]

推导过程

假设容量 C=5，物品：

物品	重量	价值
A	2	3
B	3	4
C	4	5

计算：
放 A → dp[2]=3
放 B → dp[3]=4
放 C → dp[4]=5
继续组合：

• 放 A+B：容量5 → 3+4=7 ✅
• 放 A+C：容量6>5 ❌
  最大价值 = 7。

Java代码

class Solution {public int knapsack(int[] w, int[] v, int C) {int[] dp = new int[C + 1];for (int i = 0; i < w.length; i++) {for (int j = C; j >= w[i]; j--) {dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);}}return dp[C];}
}

时间复杂度：O(n*C)
空间复杂度：O©

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六、一句话总结

动态规划就是：
先确定状态，再找递推规律，最后一层层推到答案。

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