数值计算-例题
线性方程组的直接解法
A. 消元/分解类（直接法）
高斯消元（Gaussian Elimination）
本质：前向消元 + 回代；等价于做 LU 分解。
主元策略：
不选主元：快，但可能不稳（遇零/极小主元会炸）。
部分选主元（默认推荐）：每列选最大者换行，稳且代价低；得到 (PA=LU)。
完全选主元：行列都换，更稳但更慢。
适用：通用方阵。
Python：
np.linalg.solve(A,b)（内部即 LU+部分主元）。
LU 分解（带主元）
本质：(PA=LU)；一次分解，多次前/回代解不同右端。
适用：同一 (A) 多个 (b)。
稳定性：部分选主元稳健。
Python：
一次性：
np.linalg.solve(A,b)复用版：
scipy.linalg.lu_factor(A)→scipy.linalg.lu_solve((lu,piv), b)教学拆解：
scipy.linalg.lu(A)+solve_triangular(...)
Cholesky 分解（
）
本质：SPD 矩阵的“平方根”分解；存储/计算约为 LU 的一半。
适用：**对称正定（SPD）**最优选择，快且稳；不需主元。
Python：
scipy.linalg.cho_factor/cho_solve或np.linalg.cholesky + solve_triangular
LDLᵀ 分解
本质：对称矩阵通用分解 (
)；SPD 时 (D) 对角元全正，可转为 Cholesky。
适用：对称（含不定）问题；不定时常配 Bunch–Kaufman 枢轴。
Python：
scipy.linalg.ldl（较新版本提供）+solve_triangular
QR 分解 / 最小二乘（LS）
本质：(A=QR)，解超定或病态方程的 LS；比 LU 更适合最小二乘。
适用：超定系统、拟合、近奇异下的 LS。
Python：
np.linalg.lstsq(A,b)，或scipy.linalg.qr系列
B. 迭代/预条件
共轭梯度 CG / 预条件共轭梯度 PCG
本质：迭代法；对 SPD 大规模稀疏矩阵高效。
预条件：常配 不完全 Cholesky (IC) 等，显著加速。
适用：超大规模 SPD（直接法成本/内存高时）。
Python：
scipy.sparse.linalg.cg（如需）
C. 数值策略与配套概念
主元选择（Pivoting）
不选主元：可能不稳；
部分选主元（工程默认）：稳健且便宜；
完全选主元：最稳更慢。
→ 我们在第 7、8 题实际都用“带部分选主元的高斯消元”。
条件数 (
)
定义：
（用同一向量范数诱导的矩阵范数）。
解释：误差放大倍数；(\kappa) 越大越病态。
Hilbert 矩阵：
)—— 随 (n) 指数级爆炸。
误差 vs 残差
残差小（(
) 小）≠ 误差小；病态矩阵可使小残差对应大求解误差。
D. 何时选用哪种方法
SPD：Cholesky（
cho_factor/cho_solve）＞ LU。一般方阵：LU（部分主元）（
solve或lu_factor/lu_solve）。最小二乘/超定/近奇异：QR /
lstsq。同一 (A) 多 RHS：先分解（LU/Cholesky），多次前/回代。
大稀疏 SPD：CG/PCG。
极病态（如 Hilbert）：任何双精度直接法都会失准；若必须高精度，考虑多重精度库或正则化/重缩放/预条件。
例题
这里与原来LU分解的区别是，可以交换主元；保存P矩阵的目的就是为了记录交换行的情况
继续求解LU示例
