【机器人学中的状态估计】2.5.1习题：假设u,v是两个相同维度的列向量，请你证明u^Tv=tr(vu^T)

假设$u$,$v$是两个相同维度的列向量，请你证明$u^{T}v=tr(v{u}^T)$

设 $u$ 和$v$是两个$n$维列向量，即：
$$u=\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ ⋮\\ u_n\end{array}\right],v=\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right].$$

首先，计算 $u^{T}v$：
$$u^{T}v=\sum _{i=1}^n{u}_i{v}_i.$$

其次，考虑外积$v{u}^T$。这是一个$n\times n$矩阵：
$$v{u}^T=\left[\begin{array}{cccc}{v}_1{u}_1& v_1{u}_2& \cdots & v_1{u}_n\\ v_2{u}_1& v_2{u}_2& \cdots & v_2{u}_n\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ v_n{u}_1& v_n{u}_2& \cdots & v_n{u}_n\end{array}\right].$$

该矩阵的迹为其对角线元素之和：
$$\mathrm{tr}(v{u}^T)=\sum _{i=1}^n{v}_i{u}_i=\sum _{i=1}^n{u}_i{v}_i.$$

比较两式，可得：
$$u^{T}v=\mathrm{tr}(v{u}^T).$$