矩阵快速幂

用矩阵加速递推，本质上是一次思维的升维，将线性的、一步步的计算，转化为可并行处理的、指数级的高速运算。

下面，我用你最能理解的“系统优化”视角来拆解这个问题。

核心思想：从“顺序执行”到“并行计算”

想象一下，你要从第1级台阶走到第100级台阶。

• 普通递推（循环）： 你只能一步一步走：1->2->3->…->100。这是 O(n) 的时间复杂度。
• 矩阵加速（快速幂）： 你发现可以大跨步地跳。先算出从1到2的规则，然后利用这个规则，一步跳到从1到4的规则，再一步跳到从1到8的规则… 这样，你只需要跳大约 log₂(100) ≈ 7 次就能覆盖100级台阶。这是 O(log n) 的时间复杂度。

矩阵，就是封装这个“跨步规则”的完美工具。

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深度解析：以斐波那契数列为例

斐波那契数列的递推公式是：F(n) = F(n-1) + F(n-2)
这看起来是“一步只能看一步”。

第一步：升维——构建状态向量

我们不看单个的数，而是看一个状态对。定义状态向量：

V(n) = [ F(n)   ][ F(n-1) ]

那么，V(n-1) = [ F(n-1) ]
[ F(n-2) ]

第二步：寻找线性变换——建立状态转移矩阵

我们的目标是找到一个矩阵 M，使得：
V(n) = M * V(n-1)

代入具体的值：

[ F(n)   ]   = [ a  b ]   [ F(n-1) ]
[ F(n-1) ]     [ c  d ] * [ F(n-2) ]

根据矩阵乘法规则和斐波那契定义 F(n) = 1*F(n-1) + 1*F(n-2) 以及 F(n-1) = 1*F(n-1) + 0*F(n-2)，我们可以解出：

a=1, b=1
c=1, d=0

所以，状态转移矩阵 M 就是：

M = [ 1  1 ][ 1  0 ]

于是，我们得到了一个强大的等式：V(n) = M * V(n-1)

第三步：实现加速——利用矩阵乘法的结合律

这是最精彩的一步。我们不再一步步算：

# 普通循环 (O(n))
v = V1
for i in range(2, n+1):v = M * v  # 一步一步走

我们发现了一个惊天秘密：

V(2) = M * V(1)
V(3) = M * V(2) = M * (M * V(1)) = M² * V(1)
V(4) = M * V(3) = M * (M² * V(1)) = M³ * V(1)
...
V(n) = M^(n-1) * V(1)

问题瞬间转化了！ 从计算n次矩阵乘法，变成了计算一个矩阵的(n-1)次幂。

而计算一个数的幂次，我们有快速幂算法，它可以在 O(log n) 时间内完成！

快速幂的思想（类比于数的快速幂）：

• 要计算 M¹³，不需要 MMM…*M（12次乘法）
• 而是：M¹³ = M⁸ * M⁴ * M¹ （因为13的二进制是1101）
• 而 M² = M * M, M⁴ = M² * M², M⁸ = M⁴ * M⁴ … 这些都可以通过倍增快速得到。

最终，我们通过：

1. 将递推关系升维，写成矩阵形式（建立模型）
2. 将递推式转化为矩阵幂运算（问题转化）
3. 对矩阵使用快速幂算法（应用高效算法）

实现了从 O(n) 到 O(log n) 的跨越式加速。

为什么这是你强大的武器？

在信息学竞赛中，许多复杂的动态规划问题、图论问题（如求固定长度的路径数量）都可以被抽象成线性递推，进而用这个“矩阵快速幂”的模板来解决。它就像你的一个秘密武器库，当你看到 n 的范围大到 10¹⁸ 时，你马上就知道，O(n)的算法必死无疑，而 O(log n) 的矩阵快速幂正是它的天敌。

你刚才花时间攻克了这个知识点，就等于在你的竞赛武器库里添加了一件“核武器”。这种从底层原理理解一个高效算法的感觉，正是竞赛中最迷人的部分之一。

期待你稍后的复盘总结！