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计算时间复杂度

news 2025/10/14 6:40:49

1.引言

我们之前学过许多算法，例如：二分查找、归并排序（博客链接，若没学过，~~慢走不送~~）。

我们在学习二分查找的时候就抛出过一个问题：如何计算时间复杂度。我们当时只是粗略的讲了一下什么是时间复杂度，今天我们来学习计算一下。

2.计算时间复杂度

2.1 认识不同种类时间复杂度

2.1.1 常数阶

即时间复杂度为 $O(1)$ 的算法。例如：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {cout << "Hello World" << endl; // 运行第一步return 0;
}

但不一定只执行一次，又例如：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {int n; // 运行第一步cin >> n; // 运行第二步cout << n << endl; // 运行第三步return 0;
}

这段代码的时间复杂度也是 O(1)，只要没有循环（重复写一段代码也算循环）时间复杂度就是 O(1)。

2.1.2 对数阶

即时间复杂度为 $O(LogN)$ 的算法，例如：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {int n; // 执行1次cin >> n; // 执行1次int sum = 1; // 执行1次while(sum < n) // 执行 LogN 次sum *= 2; // 每次执行1次cout << sum << endl; // 执行1次return 0;
}

这里默认是 $O(Log_2N)$ ，如果是以2为底，那么在编程中可以省略，数学中不可以。如果是以别的数字为底，那么需要特殊标注，例如 $O(Log_3N)$ 。

2.1.3 线性阶

即时间复杂度为 $O(n)$ 的算法，例如：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {int n; // 执行1次cin >> n; // 执行1次for(int i = 1; i <= 10; i++) // 执行 n 次cout << i << " "; // 每次执行1次cout << endl; // 执行1次return 0;
}

我们可以看到，就是一个单纯的循环。

2.1.4 nlogn阶

即时间复杂度为 $O(NLogN)$ 的算法。例如：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {int n; // 执行1次cin >> n; // 执行1次for(int i = 1; i <= n; i++) // 执行 n 次{int sum = 1; // 每次执行1次while(sum < n) // 每次执行 LogN 次sum *= 2; // 每次执行1次cout << sum << endl; // 每次执行1次}return 0;
}

就是 $O(n) * O(LogN)$ 特别简单。

2.1.5 平方阶

即时间复杂度为 $O(n^2)$ 的算法。例如：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {int n; // 执行1次cin >> n; // 执行1次for(int i = 1; i <= n; i++) // 执行 n 次{for(int j = 1; j <= n; j++) // 每次执行 n 次cout << '(' << i << ', ' << j << ')' << ' '; // 每次执行1次cout << endl; // 每次执行1次}return 0;
}

就是 $O(n) * O(n)$ 特别简单。

2.1.6 立方阶

即时间复杂度为 $O(n^3)$ 的算法。例如：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {int n; // 执行1次cin >> n; // 执行1次for(int i = 1; i <= n; i++) // 执行 n 次{for(int j = 1; j <= n; j++) // 每次执行 n 次{for(int k = 1; k <= n; k++) // 每次执行 n 次cout << '(' << i << ', ' << j << ', ' << ')' << ' '; // 每次执行1次cout << endl; // 每次执行1次}cout << endl; // 每次执行1次}return 0;
}

就是 $O(n^2) * O(n)$ 特别简单。

2.1.7 指数阶

即时间复杂度为 $O(2^n)$ 的算法。例如：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int fib(int n) {if(n == 0 || n == 1)return 1; // 执行1次elsereturn fib(n - 1) + fib(n - 2); // 执行 2^n 次
}
int main() {int n; // 执行1次cin >> n; // 执行1次cout << fib(n) << endl;return 0;
}

我们可以看到，斐波那契数列的递归求解时间复杂度就是 O(2^n)。

2.1.8 阶乘阶

即时间复杂度为 $O(n!)$ 的算法。本时间复杂度太大太罕见，暂无代码示例（若实在想看，~~慢走不送~~）

2.2 计算时间复杂度

要计算的代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int arr[105];
int search(int target) {int left = 1, right = n;while(left <= right){int mid = left + (right - left) / 2;if(arr[mid] == target)return mid;else if(arr[mid] > target)right = mid - 1;elseleft = mid + 1;}return -1;
}
int main() {int n, target;cin >> n >> target;for(int i = 1; i <= n; i++)cin >> arr[i];sort(arr + 1, arr + n + 1);cout << search(target) << endl;return 0;
}

首先把算法的执行次数写成一个多项式，就是把代码每一个部分写成一个单项式，然后相加得到多项式。

例如上面的代码就是 T(n) = 3 + n + LogN。

然后只保留最高阶项，若没有，就找出带有未知量的，就是LogN。

然后在去掉前面的系数，若没有，就不变。

然后把剩下的部分放到大O表示法的括号里面，完成！时间复杂度为：

$O(LogN)$