【11408学习记录】考研数学精华：矩阵相似全解——从定义到判别一网打尽！

数学

线性代数

矩阵的相似

定义

设 $A,B$ 是两个n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1}AP=B$ ，则称 $A$ 相似于 $B$ ，记成 $A\sim B$ .

相似矩阵的性质

若 $A\sim B$ ，则：

• $|A|=|B|$
• $r(A)=r(B)$
• $tr(A)=tr(B)$
• ${\lambda }_A={\lambda }_B$ （或 $|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$）
• $r(\lambda E-A)=r(\lambda E-B)$
• $A,B$ 的各阶主子式之和分别相等

重要结论

1. 若 $A\sim B$ ，则 $A^k\sim B^k$ ，$f(A)\sim f(B)$ （其中 $f(x)$ 是多项式）

2. 若 $A\sim B$ ，且 $A$ 可逆，则 $A^{-1}\sim B^{-1}$ ，$f(A^{-1})\sim f(B^{-1})$ （其中 $f(x)$ 是多项式）

3. 若 $A\sim B$ ，则 $A^{\ast }\sim B^{\ast }$

4. 若 $A\sim B$ ，则 $A^T\sim B^T$

5. 若 $A\sim C,B\sim D$ ，则 $\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{cc}C& 0\\ 0& D\end{array}\right]$

两个矩阵是否相似的判别与证明

1. 定义法：若存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1}AP=B$ ，则 $A\sim B$

2. 传递性：若 $A\sim C,C\sim B$ ，则 $A\sim B$

3. 性质：若 $A\sim B$ ，则 $r(A)=r(B),|A|=|B|,tr(A)=tr(B),{\lambda }_A={\lambda }_B,r(\lambda E-A)=r(\lambda E-B)$ ，$A$ 与 $B$ 的各阶主子式之和分别相等.

英语

每日一句

“Carry a book with you at all times” can actually work, too — providing you dip in often enough, so that reading becomes the default state from which you temporarily surface to take care of business, before dropping back down.(2016, Reading Comprehension, Part A Text 3)

词汇

at all times: 随时，不论什么时候
providing: conj. 假如
dip in: 沉浸，浸入其中
default state: 默认状态
temporarily: adv. 暂时地
surface:

• v. 浮出水面
• n. 表面；表层

take care of business: 处理工作，负责工作

第一步：找谓语

“Carry a book with you at all times” can actually work, too — providing you dip in often enough, so that reading becomes the default state from which you temporarily surface to take care of business, before dropping back down.

第二步：断句

原句中存在5处谓语，包含5件事，其谓语分别分布在以下部分：

• carry 为引号内的谓语
• can work 为主句谓语
• dip 为插入语的谓语
• becomes 为 so that 引导的结果状语从句的谓语
• surface 为 from which 引导的定语从句的谓语

按照标点、引导词以及谓语动词，可以将原句分为以下分句：

• “Carry a book with you at all times” can actually work, too —— 主句
• — providing you dip in often enough, —— 插入语
• so that reading becomes the default state —— 结果状语从句
• from which you temporarily surface to take care of business, before dropping back down. —— 定语从句

第三步：简化

主句

“Carry a book with you at all times” can actually work, too

• 主句主语部分：“Carry a book with you at all times”
  • 该部分为名词化短语作主语，在语法上称为引语主语
  • 不定冠词：a 修饰名词：book
  • 引语内包含动词短语：carry book
  • 介词短语：with you 修饰整个引语表伴随
  • 介词短语：at all times 修饰整个引语表时间
• 主句谓语部分：can actually work, too
  • 副词：actually 修饰动词：work
  • 副词：too 修饰动词：work
  • 主句谓语为情态动词 + 动词原型

去掉主句扩展部分，就得到了主句核心：

• “Carry …… book ……” can …… work …… —— 搬 …… 书 …… 能 …… 奏效 ……

插入语

— providing you dip in often enough,

• 插入语主语部分：providing you
  • 介词：providing 表示假如
  • 代词：you 插入语主语
• 插入语谓语部分：dip in often enough
  • 动词词组：dip in 表示沉浸
  • 程度副词：often 修饰插入语，表示经常
  • 副词：enough 修饰动词：dip in，表示足够沉浸

插入语部分为主句的条件状语从句，修饰主句，不需要进行简化

结果状语从句

so that reading becomes the default state

• 从句引导词：so that 引导结果状语从句，修饰主句，说明主句的结果
• 从句主语部分：reading 为动名词作主语
• 从句谓语部分：becomes 为系动词，后接表语
• 从句表语部分：the default state
  • 定冠词：the 与形容词：default 修饰名词：state
  • 名词：state 为从句表语核心词

去掉从句扩展部分，就得到了从句核心：

• so that reading becomes …… state —— 因此阅读变成了…… 状态

定语从句

from which you temporarily surface to take care of business, before dropping back down.

• 从句引导词：from which 引导定语从句，修饰名词：the default state，解释说明在什么状态下抽离行为
• 从句主语部分：you
• 从句谓语部分：temporarily surface
  • 副词：temporarily 修饰动词：surface
• 非谓语动词词组：to take care of business 作为目的状语，修饰动词：surface
  • 名词：care 为动词：take 的宾语
  • 介词短语：of business 为名词：care 的后置定语，说明 care 的具体范围
• 介词短语：before dropping back down 为时间状语修饰从句，表示时间

去掉从句扩展部分，就得到了从句核心：

• from which you …… surface …… —— 你从这种状态中短暂抽离处理事务