CR 分解

一、CR分解

在线性代数中，CR分解是一种重要且直观的矩阵分解方法，它将任意一个矩阵 $A$ 分解为一个列满秩矩阵 $C$ 和一个行满秩矩阵 $R$ 的乘积。

1.1.CR分解的定义

对于任意一个 $m\times n$ 的矩阵 $A$，其秩为 $r$，CR分解将其表示为：

$A=CR$

其中：

• C 是一个 $m\times r$ 的矩阵，它的列由矩阵 $A$ 的 $r$ 个线性无关的列构成。这些列构成了 $A$ 的列空间的一组基。
• R 是一个 $r\times n$ 的矩阵，它由矩阵 $A$ 的简化行阶梯形（Reduced Row Echelon Form, RREF）中的 $r$ 个非零行构成。这些行构成了 $A$ 的行空间的一组基。

CR分解的核心思想是将矩阵 $A$ 的所有列表示为其主列（线性无关列）的线性组合，而这个线性组合的系数就存储在矩阵 $R$ 中。

1.2.CR分解的步骤

给定一个矩阵 $A$，求解其CR分解的步骤如下：

1. 行化简与确定主元列: 对矩阵 $A$ 进行高斯-若尔当消元法，得到其简化行阶梯形矩阵，我们称之为 $A_{RREF}$。在 $A_{RREF}$ 中，主元（pivots，即每行第一个非零元素，通常为1）所在的列被称为主元列。

2. 构造矩阵C: 矩阵 $C$ 由矩阵 $A$ 中与 $A_{RREF}$ 主元列相对应的原始列向量构成。如果 $A_{RREF}$ 的第 $j_1,j_2,\dots ,j_r$ 列是主元列，那么 $C$ 就由 $A$ 的第 $j_1,j_2,\dots ,j_r$ 列组成。

3. 构造矩阵R: 矩阵 $R$ 直接取自 $A_{RREF}$ 的所有非零行。由于 $A$ 的秩为 $r$，所以 $A_{RREF}$ 将恰好有 $r$ 个非零行。事实上，R的每一列即A的每一列在矩阵C列空间作为基下的坐标！。

示例

假设有矩阵 $A$：

$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 4& 7& 9\\ 3& 6& 10& 13\end{array}\right)$

第一步：求简化行阶梯形

对 $A$ 进行行变换：

$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 4& 7& 9\\ 3& 6& 10& 13\end{array}\right)\stackrel{R_2-2R_1,R_3-3R_1}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right)\stackrel{R_3-R_2,R_1-3R_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

因此，$A_{RREF}=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$。

主元位于第1列和第3列。

第二步：构造矩阵C

由于主元列是第1列和第3列，我们选取 $A$ 的第1列和第3列构成 $C$：

$C=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 7\\ 3& 10\end{array}\right)$

第三步：构造矩阵R

我们取 $A_{RREF}$ 的非零行构成 $R$：

$R=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 1\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right)$

验证

现在我们来验证 $A=CR$：

$CR=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 7\\ 3& 10\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 1\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1(1)+3(0)& 1(2)+3(0)& 1(0)+3(1)& 1(1)+3(1)\\ 2(1)+7(0)& 2(2)+7(0)& 2(0)+7(1)& 2(1)+7(1)\\ 3(1)+10(0)& 3(2)+10(0)& 3(0)+10(1)& 3(1)+10(1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 4& 7& 9\\ 3& 6& 10& 13\end{array}\right)=A$

验证成功。

1.3.CR分解的详细证明

CR分解的存在性可以通过高斯-若尔当消元法来证明。

1. 行变换与可逆矩阵E: 任何对矩阵 $A$ 的初等行变换，都等价于左乘一个相应的初等矩阵。因此，将 $A$ 化为简化行阶梯形 $A_{RREF}$ 的过程，可以表示为左乘一个可逆矩阵 $E$：

   $EA=A_{RREF}$

   由于 $E$ 是可逆的，我们有：

   $A=E^{-1}{A}_{RREF}$

2. 分块矩阵: 设 $A$ 的秩为 $r$。$A_{RREF}$ 将有 $m-r$ 个全零行。我们可以将 $A_{RREF}$ 分解为只包含非零行的矩阵 $R$ 和一些零行。相应地，我们可以对 $E^{-1}$ 进行列分块。

   $A=E^{-1}\left(\begin{array}{c}R\\ 0\end{array}\right)$

   其中 $R$ 是 $r\times n$ 矩阵，$0$ 是 $(m-r)\times n$ 的零矩阵。我们将 $E^{-1}$ 按列分块为 $[CD]$，其中 $C$ 是 $m\times r$ 矩阵，$D$ 是 $m\times (m-r)$ 矩阵。

   $A=\left[\begin{array}{cc}C& D\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}R\\ 0\end{array}\right)=CR+D\cdot 0=CR$

3. 证明C是A的主列: 我们需要证明这样得到的矩阵 $C$ 正是由 $A$ 的主列构成的。

   • 在 $A_{RREF}$ 中，主元列是单位向量 $e_i$（在 $r$ 维空间中）。设 $A$ 的第 $j$ 列 $A_j$ 是一个主列，其在 $A_{RREF}$ 中对应的列是 $e_k$。
   • 根据 $A=CR$，我们有 $A_j=C\cdot R_j$。而 $R_j$ 在这里就是 $A_{RREF}$ 的第 $j$ 列，即 $e_k$。
   • 所以，$A_j=C\cdot e_k=C_k$，即 $A$ 的第 $j$ 个主列恰好是 $C$ 的第 $k$ 列。
   • 这表明矩阵 $C$ 的列就是 $A$ 的所有主列。

4. 证明R是A_{RREF}的非零行:

   • 由行变换的性质可知，矩阵 $A$ 的行空间与 $A_{RREF}$ 的行空间是相同的。
   • $A_{RREF}$ 的非零行是线性无关的，因此它们构成了行空间的一组基。
   • 在 $A=CR$ 中，矩阵 $A$ 的每一行都是矩阵 $R$ 中各行的线性组合。由于 $R$ 的行向量构成了 $A$ 的行空间的一组基，因此这个 $R$ 必须是（或行等价于）从 $A_{RREF}$ 中提取的非零行。通过我们的构造方法，它就是 $A_{RREF}$ 的非零行本身。

综上所述，任意矩阵 $A$ 都可以分解为 $A=CR$ 的形式，其中 $C$ 由 $A$ 的主列构成，$R$ 由 $A$ 的简化行阶梯形的非零行构成。这一分解直接证明了矩阵的列秩（$C$ 的列数）等于行秩（$R$ 的行数），均为矩阵的秩 $r$。