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LeetCode 396 - 旋转函数 (Rotate Function)

news 2025/10/13 8:08:08

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文章目录

- 摘要
- 描述
- - 示例 1
  - 示例 2
- 题解答案
- 题解代码分析
- - 代码拆解讲解
  - - **1. 先算出 F(0)**
    - **2. 找规律：F(k) 与 F(k-1) 的关系**
    - **3. 迭代更新 F(k)**
- 示例测试及结果
- - 输出结果：
- 时间复杂度
- 空间复杂度
- 总结

摘要

在日常开发中，我们经常需要处理“旋转”、“偏移”、“滑动”这类序列操作，比如日志轮转、时间序列分析、或者数据窗口偏移等。而这道题——LeetCode 396《旋转函数》就是个典型例子，它看起来是一道数学题，但实质上是考察你对数组规律和前后状态转换的理解。

这题很容易写出暴力解法（每次旋转都重新计算），但那会超时。
要真正写出高效算法，我们得想办法在O(n) 时间内，复用上一次计算结果，这个思路在数据分析和算法优化中都非常有用。

描述

题目给定一个长度为 n 的整数数组 nums，我们定义：

对数组顺时针旋转 k 次后得到新数组 arr_k；

对这个数组计算函数：

F(k) = 0 * arrk[0] + 1 * arrk[1] + ... + (n - 1) * arrk[n - 1]

我们需要找出所有 F(k) 中的最大值。

示例 1

输入: nums = [4,3,2,6]
输出: 26
解释:
F(0) = 25
F(1) = 16
F(2) = 23
F(3) = 26
最大值是 F(3) = 26

示例 2

输入: nums = [100]
输出: 0

题解答案

这题最开始很多人会想：

“我把数组每次旋转一位，然后再计算一遍 F(k) 不就行了吗？”

确实可行，但复杂度是 O(n²)，在 n = 10⁵ 时就炸了。

所以我们需要找到更巧的方式来从 F(k-1) 推导出 F(k)。

关键发现是：

每次旋转后，数组中所有元素的下标都变化了 1。
我们可以通过数学公式，找出 F(k) 和 F(k-1) 之间的关系。

题解代码分析

先放上完整 Swift 解法

import Foundationclass Solution {func maxRotateFunction(_ nums: [Int]) -> Int {let n = nums.countif n == 0 { return 0 }// 计算数组元素总和let sum = nums.reduce(0, +)// 初始的 F(0)var f0 = 0for i in 0..<n {f0 += i * nums[i]}var maxValue = f0var fk = f0// 利用公式递推计算 F(k)// F(k) = F(k-1) + sum - n * nums[n-k]for k in 1..<n {fk = fk + sum - n * nums[n - k]maxValue = max(maxValue, fk)}return maxValue}
}

代码拆解讲解

我们一步步看清楚算法的推理过程

1. 先算出 F(0)

也就是不旋转的初始值：

for i in 0..<n {f0 += i * nums[i]
}

举例：
nums = [4,3,2,6]
F(0) = 0*4 + 1*3 + 2*2 + 3*6 = 25

2. 找规律：F(k) 与 F(k-1) 的关系

当数组旋转一次时，所有元素的权重（下标）都往后移一位。
于是我们有：

F(k) = F(k-1) + sum(nums) - n * nums[n - k]

解释：

sum(nums) 是所有元素的总和；
n * nums[n - k] 是被“旋转到头”的元素需要被扣掉的部分。

这一步非常关键，它让我们从 O(n²) 降到了 O(n)。

3. 迭代更新 F(k)

我们只要根据上面这个递推式，不断计算新的 F(k)，同时取最大值：

for k in 1..<n {fk = fk + sum - n * nums[n - k]maxValue = max(maxValue, fk)
}

这个循环跑一遍数组就结束了，复杂度只有 O(n)。

示例测试及结果

我们来跑几个例子：

let solution = Solution()print(solution.maxRotateFunction([4,3,2,6]))   // 输出：26
print(solution.maxRotateFunction([100]))       // 输出：0
print(solution.maxRotateFunction([1,2,3,4,5])) // 输出：40