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老题新解|大整数的因子

news 2025/10/12 6:12:07

《信息学奥赛一本通》第167题：大整数的因子

题目描述：
已知正整数 k 满足 $2 <= k <= 9$ ，现给出长度最大为 30 位的十进制非负整数 c，求所有能整除 c 的 k。
输入：
一个非负整数 c，c 的位数不大于 30。
输出：
若存在满足 $c%k==0c\%k==0$ 的 k，从小到大输出所有这样的 k，相邻两个数之间用单个空格隔开；若没有这样的 k，则输出 none。
样例输入：
30
样例输出：
2 3 5 6

大家好，我是莫小特。
这篇文章给大家带来《信息学奥赛一本通》中的第 167 题：大整数的因子。

一、题目描述

题目描述：
已知正整数 k 满足 $2 <= k <= 9$ ，现给出长度最大为 30 位的十进制非负整数 c，求所有能整除 c 的 k。
输入：
一个非负整数 c，c 的位数不大于 30。
输出：
若存在满足 $c%k==0c\%k==0$ 的 k，从小到大输出所有这样的 k，相邻两个数之间用单个空格隔开；若没有这样的 k，则输出 none。
样例输入：
30
样例输出：
2 3 5 6

二、题意分析

这道题是信息学奥赛一本通练习题的第 167 题。

普通的整型除法在数值范围较小时可以直接使用 % 求余，但当整数超过 18 位时，long long 也无法存放整个数。
因此我们只能将输入的大整数视作字符串进行处理。

核心思想是：

通过模拟“手算取模”的过程：

从高位到低位逐位取出数字，累计余数，不断对 k 取模更新。

例如：
要判断 12345 是否能被 3 整除，
我们可以从左到右逐位计算余数：

当前位	计算公式	当前余数
1	(0×10 + 1)%3=1	1
2	(1×10 + 2)%3=0	0
3	(0×10 + 3)%3=0	0
4	(0×10 + 4)%3=1	1
5	(1×10 + 5)%3=0	0
按照样例输入对数据进行验证。

最后余数为 0，说明 12345 能被 3 整除。

在程序中，我们就用这个方法来判断从 k=2 到 9 的所有整除情况。

三、完成代码

使用字符数组 char c[31] 存储输入数字（最多 30 位 + 1 个结束符）。

char c[31];
scanf("%s", c+1);

c+1 代表我们让数组从下标 1 开始，方便理解第 i 位。

计算长度。

n = strlen(c+1);

这一步计算数字共有多少位。

需要枚举 9 次，从 2 遍历到 9。

for(k = 2; k <= 9; k++)
{}

接下来求模，设置一个变量 t 作为当前余数。

t = 0;
for(i = 1; i <= n; i++)
{t = t * 10 + c[i] - '0'; // 累积余数t %= k;                  // 对k取模
}

这段循环完成了手动计算 c % k 的过程。

最后判断输出即可，如果余数 t 等于 0，说明能整除：

if(t == 0)
{flag = 1;printf("%d ", k);
}

循环结束后，如果一个都没找到，则输出 none：

if(flag)printf("\n");
elseprintf("none\n");

按样例测试。

符合样例输入和输出。

三、完整代码

该题的完整代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;char c[31];
int main()
{int n, k, flag = 0, t;scanf("%s", c + 1);           // 从下标1开始存储输入n = strlen(c + 1);            // 求长度for (k = 2; k <= 9; k++){t = 0;                    // 初始化余数for (int i = 1; i <= n; i++){t = t * 10 + c[i] - '0'; // 模拟手算取模t %= k;}if (t == 0){flag = 1;printf("%d ", k);}}if (flag)printf("\n");elseprintf("none\n");return 0;
}