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news 2025/10/11 17:17:54

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多项式回归：线性回归的扩展

多项式回归是线性回归的扩展，它通过加入输入数据的高次项和交叉项，帮助我们更好地捕捉那些非线性关系。简单来说，它让我们用线性回归的方式去处理更复杂的数据模式。本文通过实例展示了多项式回归与线性回归的对比，讲解了如何选择合适的多项式阶数，以及这些选择如何影响模型的拟合效果。最后，还介绍了它的优缺点以及常见的应用场景，帮助大家在实际问题中做出更明智的选择。

1. 算法简介

在经典的线性回归中，我们假设输入变量与输出变量之间存在线性关系：
$\beta_0 + \beta_1 x + \epsilon$
然而，在许多实际问题中，这种线性关系往往过于简单。例如，物体下落的位移随时间是二次关系，经济学中的收益随投入可能呈现非线性增长。此时，单纯的线性回归无法捕捉这种非线性模式。

多项式回归（Polynomial Regression） 正是为了解决这一问题而提出的。
它的核心思想是：通过扩展特征（即把输入变量的高次项作为新的特征），将非线性问题转化为线性回归来求解。

因此，多项式回归并不是一个全新的回归算法，而是线性回归的扩展。
例如：

二次回归（Quadratic Regression） 就是多项式回归在阶数 d=2d=2 的特例。
更高阶的回归（如三次、四次）也是同理。

2. 数学模型

2.1 一维情况

对于一维输入 $x$ ，阶数为 $d$ 的多项式回归模型为：
$\beta_0 + \beta_1 x + \beta_2 x^2 + \dots + \beta_d x^d + \epsilon$
这里，模型对参数 $β\beta$ 仍然是线性的，只是增加了新的特征 $x2,x3,…,xdx^2, x^3, \dots, x^d$ 。

2.2 多维情况

如果输入是 $(x_1, x_2, \dots, x_p)$ ，则不仅包括每个特征的高次项，还包括交叉项。例如在二次回归中：

$\beta_0 + \sum_{i=1}^p \beta_i x_i + \sum_{i=1}^p \beta_{ii} x_i^2 + \sum_{i=1}^p \sum_{j=i+1}^p \beta_{ij} x_i x_j + \epsilon$
这种特征扩展由 scikit-learn 的 PolynomialFeatures 自动完成。

3. 参数说明

from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.pipeline import Pipeline# 线性回归模型
linear = LinearRegression(*,fit_intercept=True,  # 是否计算截距项。True 表示模型会计算截距项 β_0，False 表示不计算（即截距为0）。copy_X=True,         # 是否复制输入数据。True 表示会创建输入数据的副本，False 表示会直接修改原数据。n_jobs=None,         # 并行计算的工作线程数。None 表示使用单线程，如果是整数，则表示使用该数量的 CPU 核心。positive=False,      # 是否约束模型的回归系数为正数。True 会强制系数非负，默认 False。
)# 多项式特征生成器
poly = PolynomialFeatures(degree=2,             # 多项式的阶数。degree=2 表示进行二次回归，即使用 x, x^2 作为特征。*,interaction_only=False,  # 是否只生成交互项，而不包括特征的高次项。如果为 True，只会生成 x_i * x_j 的交叉项，不包括 x_i^2 这种单独的高次项。include_bias=True,       # 是否在特征中包含常数项（x^0 = 1）。True 表示包括常数项，默认为 True。order='C',               # 特征生成的顺序。'C' 表示按列优先顺序排列，'F' 则表示按行优先顺序排列。这通常影响计算效率，但不改变最终结果。
)# 管道（Pipeline）将多步骤操作链接在一起
Pipeline(steps, *,transform_input=None,   # 数据预处理时的输入格式。如果需要进行复杂的输入处理，可以定义该参数。memory=None,            # 如果为 True，会缓存步骤中的中间结果以加快计算速度。如果为 None，则不使用缓存。verbose=False           # 是否显示中间计算过程的详细信息。True 会打印出每一步的计算细节，默认为 False。
)# 以下是如何通过管道（Pipeline）结合多项式回归与线性回归模型
poly_reg = Pipeline([("poly", PolynomialFeatures(degree=4, include_bias=False)),  # 第一步：多项式特征生成，degree=4 表示使用四次方特征，include_bias=False 表示不加常数项。("linear", LinearRegression())  # 第二步：使用线性回归模型来拟合扩展后的多项式特征。
]).fit(X, y)  # 训练模型

在 scikit-learn 中，多项式回归通常用 PolynomialFeatures + LinearRegression 或者 Pipeline 来实现。

PolynomialFeatures
- degree：多项式的阶数（如 degree=2 表示二次回归）。
- interaction_only：是否只考虑交叉项而不包含平方项等。
- include_bias：是否添加常数列（默认为 True）。
LinearRegression
- fit_intercept：是否拟合截距项。
- positive：是否约束模型的回归系数为正数（默认为 False）。

通过组合这两个模块，可以方便地构建多项式回归模型。

4. 实例：多项式回归 vs 线性回归

下面的例子展示了多项式回归和线性回归在同一数据上的效果对比：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.pipeline import Pipelinesns.set_theme(style="whitegrid", font="SimHei", rc={"axes.unicode_minus": False})# 固定随机种子
np.random.seed(42)# 1. 构造数据：来自 4 次多项式 + 噪声
X = np.linspace(-3, 3, 120).reshape(-1, 1)
x = X.flatten()
y = (0.02 * x**4 - 0.1 * x**3 + 0.3 * x**2 - 0.8 * x + 2).reshape(-1, 1)
y = y + np.random.randn(len(X), 1) * 0.5   # 加噪声# 2. 普通线性回归
lin_reg = LinearRegression().fit(X, y)# 3. 多项式回归
poly_reg = Pipeline([("poly", PolynomialFeatures(degree=4, include_bias=False)),("linear", LinearRegression())
]).fit(X, y)# 4. 可视化
X_plot = np.linspace(-3, 3, 300).reshape(-1, 1)plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.scatter(X, y, color="blue", s=25, label="数据点")plt.plot(X_plot, lin_reg.predict(X_plot), "g-", lw=2, label="线性回归")
plt.plot(X_plot, poly_reg.predict(X_plot), "r-", lw=2, label="多项式回归")plt.title("线性回归 vs 多项式回归", fontsize=14)
plt.xlabel("X", fontsize=12)
plt.ylabel("y", fontsize=12)
plt.legend()
plt.grid(alpha=0.3)
plt.show()

在这里插入图片描述

5. 多项式阶数的影响

多项式的阶数直接决定了模型的拟合能力与灵活性。

阶数过低：模型太简单，容易发生欠拟合，无法有效捕捉数据的真实模式；
阶数适中：模型能够较好地拟合数据，捕捉到数据的主要趋势；
阶数过高：模型过于复杂，容易发生过拟合，甚至对数据中的噪声敏感。

通过对正弦函数的拟合实验（分别使用 degree=1, 3, 5, 10），可以直观观察到阶数变化对拟合效果的显著影响。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.pipeline import Pipelinesns.set_theme(style="whitegrid", font="SimHei", rc={"axes.unicode_minus": False})# 数据：正弦函数
X = np.linspace(0, 2*np.pi, 100).reshape(-1, 1)
y = np.sin(X) + 0.1*np.random.randn(100, 1)degrees = [1, 3, 5, 10]
plt.figure(figsize=(12, 8))for i, d in enumerate(degrees, 1):model = Pipeline([("poly", PolynomialFeatures(degree=d)),("linear", LinearRegression())]).fit(X, y)plt.subplot(2, 2, i)plt.scatter(X, y, s=15, c="blue", label="数据点")plt.plot(X, model.predict(X), c="red", label=f"degree={d}")plt.title(f"多项式回归 (degree={d})")plt.legend()plt.grid(alpha=0.3)plt.suptitle("多项式回归参数对拟合效果的影响", fontsize=16)
plt.tight_layout()
plt.show()