数据结构--------树二叉树
目录
树的概述
树的定义
树的结点
树的特点
二叉树（Binary Tree）
什么是二叉树？
二叉树的分类
满二叉树
完全二叉树
二叉树的存储
顺序存储
链式存储
二叉树的遍历
前序遍历
中序遍历
后序遍历
还原二叉树
层序遍历
树的概述
树是一种非线性的数据结构，存储具有“一对多”关系特点元素的一种数据结构。例如：组织架构、图书目录、商品种类、热点搜索词等。
将具有“一对多”关系的集合中的数据元素按照树的形式进行存储，整个存储形状在逻辑结构上看，类似于实际生活中倒着的树，所以称这种数据的存储结构称为“树”。
树的定义
树（tree）是一种非线性的数据结构，包含 n(n≥0)个结点的有限集合，结点之间具备一对多的逻辑关系，当树的结点n=0时，该树被称为空树。
树的结点
- 树的结点：树结构中，存储的每一个数据元素都被称为树的“结点”。
- 根结点：结点1是根结点（root）；
- 子结点：结点2、结点3是根结点的子结点，结点4、结点5是结点2的子结点。
- 叶子结点：树的末端结点，属于没有子结点的结点，统一被称为叶子结点（leaf）。例如：结点5、结点6、结点7、结点8属于叶子结点。
- 子树：由某个子结点作为根结点组成的树被称为子树。例如：结点2是根结点1的其中一个子树根结点。
结点的度
对于一个结点，拥有的子树个数（结点有多少分支）称为结点的度（Degree）。
例如：根结点 A 下分出了 3 个子树，所以，结点 A 的度为 3。
树的度
一棵树的度是树内各结点的度的最大值。
例如：各个结点的度的最大值为 3，所以，整棵树的度值是 3。
结点层次
从一棵树的根结点开始，根结点所在层为第一层，根结点的子结点所在层为第二层，依次类推。
例如：A 结点在第一层，B、C、D 为第二层，E、F、G、H、I、J 在第三层，K、L、M 在第四层。
树的高度
一棵树的高度是树中结点所在的最大层次。树的高度，也被称为树的深度。
例如：树的高度为 4。
树的特点
在任意一个非空树中，有如下特点：
- 有且仅有一个根结点
- 一棵树中的任意两个结点，有且仅有唯一的一条路径连通，不存在回路
- 一棵树如果有 n 个结点，那么它一定有 n-1 条边
二叉树（Binary Tree）
什么是二叉树？
二叉树（Binary tree）是一种结点的度不大于2的有序树，树中包含的各个结点的度不能超过 2，子结点通常被称作“左孩子结点”或“右孩子结点”，子结点的左右次序不能颠倒。二叉树 的分支子树通常被称作“左子树”或“右子树”。
例如：a选项的树是二叉树，b选项的树不是二叉树，因为b选项的树，度为3。
二叉树的分类
满二叉树
满二叉树的定义
满二叉树是一种特殊的二叉树，它的所有非叶子结点都存在左右子结点，并且所有叶子结点都在同一层级。由于满二叉树的每个非叶子结点都符合二叉树的特点，所以也被称为完美二叉树。
满二叉树的特点
- 一个层数为k的满二叉树，总结点数 = 2k-1。
- 第i层的结点数 = 2i-1
- 一个层数为k的满二叉树，叶子结点数 = 2k-1
- 具有x个结点的满二叉树，叶子结点数 = (x+1)/2
- 具有n个结点的满二叉树，深度为 log2(n+1)
例如：该二叉树的总层数为3，总结点数为23-1 = 7，第2层的结点数为22-1 = 2， 叶子结点数为2k-1 = 4。具有7个结点的满二叉树，叶子结点数为(7+1)/2 = 4，深度为log2(7+1) = 3。
完全二叉树
完全二叉树的定义
如果二叉树中，从根结点到倒数第二层，符合满二叉树要求，其叶子结点可以不完全填充，但必须靠从左到右连续分布，这样的二叉树被称为完全二叉树。
完全二叉树：
不是完全二叉树：
完全二叉树特点
- 满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树。
完全二叉树第i层至多有2i-1个结点。
一共有i层的完全二叉树最多有2i-1个结点。
- 父结点和子结点的序号有对应关系，当根结点的序号值为 1 的情况下，若父结点的序号是 i，那么左子结点的序号就是 2i，右子结点的序号是 2i+1。
例如：利用这个特点，完全二叉树利用数组存储时可以极大地节省空间，以及利用序号找到某个结点的父结点和子结点。
二叉树的存储
二叉树的存储主要分为 顺序存储 和 链式存储 两种：
顺序存储
二叉树的顺序存储，指的是使用顺序表（数组）存储二叉树。需要注意的是，顺序存储只适用于完全二叉树。满二叉树也是完全二叉树，所以同样适用。
在顺序存储中，顺序表（数组）中的每一个位置仅存储结点的 data，不需要存储左右子结点的指针，子结点的索引通过计算父结点下标完成。
- 假设一个父结点的下标是parentIndex，它的左子结点下标 = 2×parentIndex，右子结点下标 = 2×parentIndex + 1
- 假设一个左子结点的下标是leftChildIndex，它的父结点 下标 = leftChildIndex/ 2
- 假设一个左子结点的下标是rightChildIndex，它的父结点 下标 = (rightChildIndex-1)/ 2
如果完全二叉树，使用数组顺序存储，可以充分利用数组空间，如下图所示：
如果普通二叉树，使用数组顺序存储，在数组中就会出现空隙，导致内存利用率降低，如下图所示：
二叉树的顺序存储：
public class BinaryTree<E> {private Object[] elementData = null;public BinaryTree(E[] elements) {elementData = new Object[elements.length + 1];for (int i = 0, index = 1; i < elements.length; i++, index++) {elementData[index] = elements[i];}}public E get(int index) {return (E) elementData[index];}public E left(int index) throws Exception {if ((index << 1) >= elementData.length) {throw new Exception("左孩子节点不存在!");}return (E) elementData[index << 1];}public E right(int index) throws Exception {if ((index << 1) + 1 >= elementData.length) {throw new Exception("右孩子节点不存在!");}return (E) elementData[(index << 1) + 1];}
}测试：
public class Test {public static void main(String[] args) throws Exception {BinaryTree<String> tree = new BinaryTree<String>(new String[] {"a","b","c","d","e","f","g","h"});System.out.println(tree.get(1));System.out.println(tree.left(1));System.out.println(tree.right(1));}
}链式存储
二叉树的链式存储依靠指针将各个结点串联起来，不需要连续的存储空间。
每个结点包括3个属性：
- 数据 Data
- 左孩子结点指针 Left
- 右孩子结点指针 Right
二叉树的链式存储:
public class BinaryTree<E> {TreeNode<E> root;public BinaryTree(E val) {root = new TreeNode<E>(val);}// 结点类static class TreeNode<E> {E data; // 数据TreeNode<E> left; // 左子结点TreeNode<E> right; // 右子结点// 无参构造方法public TreeNode() {}// 有参构造方法public TreeNode(E val) {this.data = val;}}public TreeNode<E> left(TreeNode<E> parent, E val) {TreeNode<E> newNode = new TreeNode<E>(val);parent.left = newNode;return newNode;}public TreeNode<E> right(TreeNode<E> parent, E val) {TreeNode<E> newNode = new TreeNode<E>(val);parent.right = newNode;return newNode;}
}二叉树的遍历
- 前序遍历：根结点->左子树->右子树（根->左->右）
- 中序遍历：左子树->根结点->右子树（左->根->右）
- 后序遍历：左子树->右子树->根结点（左->右->根）
前序遍历
前序遍历：根结点->左子树->右子树（根->左->右）
二叉树的前序遍历也叫先序遍历，就是先输出根结点，再遍历左子树，最后遍历右子树，遍历左子树和右子树的时候，同样遵循先序遍历的规则（可以递归实现先序遍历）。
前序遍历：
public void preOrder(TreeNode root){if(root == null){return;}System.out.println(root.data);preOrder(root.left);preOrder(root.right);
}中序遍历
中序遍历：左子树->根结点->右子树（左->根->右）
二叉树的中序遍历，就是先递归中序遍历左子树，再输出根结点的值，再递归中序遍历右子树。
中序遍历：
public void inOrder(TreeNode root){if(root == null){return;}inOrder(root.left);System.out.println(root.data);inOrder(root.right);
}后序遍历
后序遍历：左子树->右子树->根结点（左->右->根）
二叉树的后序遍历，就是先递归后序遍历左子树，再递归后序遍历右子树，最后输出根结点的值
后序遍历:
public static void postOrder(TreeNode root){if(root == null){return;}postOrder(root.left);postOrder(root.right);System.out.println(root.data);
}还原二叉树
已知某二叉树的前序遍历为A-B-D-F-G-H-I-E-C，中序遍历为F-D-H-G-I-B-E-A-C，请还原二叉树。
技巧：前序和后序确定根，中序确定左右子树
已知某二叉树的前序遍历为A-B-C-D-E-F-G-H，中序遍历结果为C-D-B-A-G-F-E-H，请还原二叉树。
已知某二叉树的中序遍历为F-D-H-G-I-B-E-A-C，后序遍历的结果为F-H-I-G-D-E-B-C-A，请还原二叉树。
已知某二叉树的中序遍历为D-B-E-A-F-I-H-C-G，后序遍历的结果为D-E-B-H-I-F-G-C-A，请还原二叉树。
层序遍历
层序遍历，就是按二叉树从上到下，从左到右，依次打印每层中每个结点存储的数据。
层序遍历：
public void levelOrder(TreeNode root) {if (root == null) {return;}Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();queue.offer(root);while (true) {TreeNode cur = queue.poll();if (cur == null) {break;}// 访问当前节点. 就用打印表示访问即可.System.out.print(cur.data);// 把该节点的左子树入队列, 右子树入队列if (cur.left != null) {queue.offer(cur.left);}if (cur.right != null) {queue.offer(cur.right);}}
}